Корни неприводимого кубического полинома - непостроимость.

[oldmathnewbie]

Помогите доказать, что если кубический полином с рациональными коэффициентами неразложим на произведение полиномов меньшей степени с рациональными коэффициентами, то его корни не принадлежат никакому квадратичному расширению поля рациональных чисел (и, соответственно, непостроимы циркулем и линейкой на комплексной плоскости).

Имею исходные подсказки/указания: в вышеуказанном случае все корни обязательно иррациональны, предлагается воспользоваться теоремой Виета. Понятно, что надо идти от обратного и предположить, что хотя бы один из корней принадлежит какому-либо квадратичному расширению поля рациональных чисел.

Из Виета вижу, что если все три корня иррациональны и кто-то из них все же принадлежит к одному из квадратичных расширений, то они все должны принадлежать к одному и тому же расширению, чтоб в сумме смогли давать рациональный коэффициент. Куда двигаться дальше - непонятно, из произведения корней никаких выводов сделать не могу...

[nnosipov]

Обратите внимание на степень квадратичного расширения поля рациональных чисел. Какой она может быть?

[oldmathnewbie]

Если я правильно понимаю слово "степень" в данном контексте, то для квадратичного расширения - два.

Для любого поликвадратичного $N$-го эээ.. не знаю как назвать, поколения что ли (то есть, когда квадратичное расширение производится последовательно $N$ раз) - $2$ в степени $N$, наверное?

Да, ошибся в исходной формулировке (извините, я "плаваю" во всем этом, поскольку только начинаю знакомиться), во всех местах имелось в виду поликвадратичное любого конечного $N$.

Интуитивно смущает то, что корни кубического уравнения вычисляются через кубические корни, но при доказательстве задачи я этого как бы не знаю и использовать этот факт не должен. Тем более что у меня нет доказательства, что кубический корень никак не выражается в поликвадратичных расширениях (а точнее - я и получу это доказательство как частный случай доказательства обобщенной ситуации с корнями кубического полинома).

Насколько понимаю, предположив принадлежность корней неприводимого кубического полинома к $N$-поликвадратичному расширению любого конечного $N$, я должен прийти к противоречию именно как-то через связь корней с рациональными коэффициентами через Виета. Но я пока не вижу, что я могу связать.

[VAL]

oldmathnewbie в сообщении #663761 писал(а):

Да, ошибся в исходной формулировке, во всех местах имелось в виду поликвадратичное любого конечного N.

В Вашем конкретном случае это не важно. Степень поля разложения полинома третьей степени является делителем числа 6 (в худшем случае, поле разложения - башня расширений степеней 3 и 2). Поэтому, если корни - выражаются в квадратных радикалах, то без кратного их использования.

По сути задачи: можно показать, что если у Вашего полинома есть корень, выраженный в квадратных радикалах, то сопряженное (относительно квадратного радикала) число также будет его корнем. А отсюда сразу выскочит полином второй степени, делящий исходный.

PS: С рациональным корнем все еще проще. Сразу получаем множитель первой степени.

[oldmathnewbie]

VAL в сообщении #663771 писал(а):

можно показать, что если у Вашего полинома есть корень, выраженный в квадратных радикалах, то сопряженное (относительно квадратного радикала) число также будет его корнем. А отсюда сразу выскочит полином второй степени, делящий исходный.

Путь эти сопряженные корни $N$-поликвадратичного расширения $a+b\sqrt c$ и $a-b\sqrt c$, где $a, b$ и $c$ принадлежат $N-1$-поликвадратичному расширению, и, значит, коэффициенты квадратичного полинома-делителя тоже лишь $N-1$-поликвадратичны. Делю на него исходный, получаю $x$ минус третий корень. Правильно ли я понимаю, что противоречие в том, что получившийся корень должен здесь получиться $N-1$-поликвадратичным, но в то же время он должен быть именно $N$-поликвадратичен, и никак не $N-1$, если рассматривать сумму корней?

[VAL]

oldmathnewbie в сообщении #663955 писал(а):

Путь эти сопряженные корни N-поликвадратичного расширения $a+b\sqrt c$ и $a-b\sqrt c$, где $a, b$ и $c$ принадлежат $N-1$-поликвадратичному расширению, и, значит, коэффициенты квадратичного полинома-делителя тоже лишь $N-1$-поликвадратичны. Делю на него исходный, получаю $x$ минус третий корень. Правильно ли я понимаю, что противоречие в том, что получившийся корень должен здесь получиться $N-1$-поликвадратичным, но в то же время он должен быть именно $N$-поликвадратичен, и никак не $N-1$, если рассматривать сумму корней?

Какие $N-1$-поликвадратичные расширения?
Почитайте внимательнее мой предыдущий пост.
Там же сказано (и проаргументировано), что корни полинома третьей степени с рациональными коэффициентами могут получаться только однократным присоденинением квадратных радикалов. (Ну не делится 6 на 4, на 8, на 16 и так далее.)