Второй замечательный предел

[randy]

$\ln (\lim_{x \to \infty} (\frac {2x+1}{2x+4})^{4x+7})$
судя по всему, задание на второй замечательный предел. я преобразовал предел, стоящий в скобках к виду $\lim_{x \to \infty} (1+\frac {3}{2x+1})^{-4x-7}$
Подскажите, как от тройки избавиться?

[ИСН]

Один чёрт, потом придётся брать логарифм. Дак возьмите его сейчас.

[Limit79]

randy
Зачем Вы хотите от нее избавиться?

[randy]

ИСН в сообщении #663293 писал(а):

Один чёрт, потом придётся брать логарифм. Дак возьмите его сейчас.

E логарифм удобнее брать от E числа, по-поему

-- 25.12.2012, 00:21 --

Limit79 в сообщении #663294 писал(а):

randy
Зачем Вы хотите от нее избавиться?

чтобы подогнать выражение под формулу ВЗП

[Limit79]

randy
А если степень домножить на дробь, обратную той, которая у Вас в скобках?

[randy]

Limit79 в сообщении #663299 писал(а):

randy
А если степень домножить на дробь, обратную той, которая у Вас в скобках?

домножением степени я хотел воспользоваться когда я приведу выражение в скобках к требуемому виду. А сейчас какой смысл этой операции?

[wronskian]

randy
есть же замечательнейшая вещь, типа

$$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f{(x)^{g(x)}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } g(x)\ln f(x)}}\]$$

приведите к этому и посмотрите, что будет

[Limit79]

Я могу ошибаться, но $\lim\limits_{x \to \infty} \left ( 1 + \frac{3}{2x+1} \right ) ^ {\frac{2x+1}{3}} = e$

[randy]

wronskian в сообщении #663307 писал(а):

randy
есть же замечательнейшая вещь, типа

$$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f{(x)^{g(x)}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } g(x)\ln f(x)}}\]$$

приведите к этому и посмотрите, что будет

в степень попадает $\ln (1+\frac {3}{2x+1})$ что сводит стпень к нулю

-- 25.12.2012, 00:33 --

Limit79 в сообщении #663308 писал(а):

Я могу ошибаться, но $\lim\limits_{x \to \infty} \left ( 1 + \frac{3}{2x+1} \right ) ^ {\frac{2x+1}{3}} = e$

у нас же в формуле ВЗП у второго слагаемого в числителе единица. почему вы решили не учитывать это?

[Limit79]

randy
Посмотрите следствия второго замечательного предела.

-- 25.12.2012, 00:40 --

Ну и я ее учитываю, кстати.

[ИСН]

Учтём.
$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( 1 + \frac{1}{(2x+1)/3} \right ) ^ {\frac{2x+1}{3}} = e$

[Limit79]

$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( 1 + \frac{1}{\frac{2x+1}{3}} \right ) ^ {\frac{2x+1}{3}} = e$

-- 25.12.2012, 00:42 --

Эх, опередили меня

[randy]

итого получается $\lim_{x \to \infty} (-4x-7)\ln e=-\infty$?

[ИСН]

Откуда (из каких именно частей первоначального выражения) у Вас получилось e?

[randy]

ИСН в сообщении #663330 писал(а):

Откуда (из каких именно частей первоначального выражения) у Вас получилось e?

$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( 1 + \frac{1}{(2x+1)/3} \right ) ^ {\frac{2x+1}{3}} = e$
если использовать тождество в нашем выражении
$\lim\limits_{x \to \infty} \left ( 1 + \frac{3}{(2x+1)} \right )^{-4x-7}=\lim\limits_{x \to \infty} \left ( 1 + \frac{3}{(2x+1)} \right ) ^ {(-4x-7)(\frac{2x+1}{3})(\frac {3}{2x+1})}$