Доказать, что функция - константа (непростая задача)

[g______d]

Sul в сообщении #662734 писал(а):

Хм, я правильно понял, что за контрпример он берет интеграл от 0 до х канторовой лестницы? Или производная от этой функции? Интеграл уж точно никак не подойдет...

Нет. Он берет нигде не плотное совершенное множество со специальным свойством (таким, что любой открытый интервал с ним либо не пересекается, либо пересекается по множеству положительной меры), а дальше каким-то сложным способом, используя предыдущие 34 страницы, доказывает существование функции.

Я не берусь в этом разобраться. Вам бы мог только посоветовать показать страничку преподавателю; не обижайтесь, это действительно сложно.

-- 24.12.2012, 01:29 --

В формулах $f$ --- это не канторова лестница, а функция, которая существует по теореме 6.5.

-- 24.12.2012, 01:33 --

Хотя не знаю, может быть, и не очень сложно...

[Sul]

Интересно, прав он или нет. Я надеюсь в ближайшее время все-таки узнать якобы решение этой задачи, посмотрим, есть ли в нем какие-то неточности :) Я и сам в этом не смогу разобраться, с моим-то знанием английских математических терминов...

[Oleg Zubelevich]

Sul в сообщении #662537 писал(а):

Функция дифференцируема на промежутке, причем ее производная на открытом и всюду-плотном множестве равна нулю.

а это разве не значит, что функция принадлежит $H^1_{loc}(0,1)$ например?

[Sul]

Oleg Zubelevich в сообщении #662753 писал(а):

Sul в сообщении #662537 писал(а):

Функция дифференцируема на промежутке, причем ее производная на открытом и всюду-плотном множестве равна нулю.

а это разве не значит, что функция принадлежит $H^1_{loc}(0,1)$ например?

Неловкий вопрос: а что скрывается за этим обозначением?

[Oleg Zubelevich]

пространство Соболева

[g______d]

Пусть $P$ --- множество с указанным свойством. Пусть $A$ --- множество его точек конденсации. Оно тоже имеет положительную меру. Пусть $E\subset A$ --- множество типа $F_{\sigma}$ той же меры, что и $A$. Оно существует по определению меры, и каждая его точка является точкой конденсации. Следовательно (здесь используется теорема 6.5) существует аппроксимативно непрерывная функция $f$, такая что $0<f(x)\le 1$ для $x\in E$ и $f(x)=0$ для $x\notin E$.

Искомая функция --- это интеграл функции $f$. При этом на каждом интервале из дополнения к $P$ имеем $f(x)=0$ (т. к. $E\subset P$), а на каждом интервале, пересекающем $E$, множество, на котором $f(x)>0$, имеет положительную меру. Т. е. интеграл по нему положителен и производная не может быть тождественным нулем.

Осталось доказать теорему 6.5 о том, что если есть множество типа $F_{\sigma}$, у которого каждая точка является точкой конденсации, то есть функция $f$ со свойством, приведенным выше. Этого я делать не буду.

Еще нужно доказать, собственно, существование множества $P$. Этого я тоже делать не буду, но мне кажется, что это не очень сложно.

[Sul]

Oleg Zubelevich в сообщении #662758 писал(а):

пространство Соболева

Боюсь, с этим мой первокурсный мозг разобраться не в состоянии...

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #662753 писал(а):

а это разве не значит, что функция принадлежит $H^1_{loc}(0,1)$ например?

Нет, там даже с интегрируемостью по Лебегу проблемы (дополнение к открытому плотному множеству может иметь положительную меру). Посмотрите книжку, интересная :)

(Оффтоп)

Sul в сообщении #662761 писал(а):

Боюсь, с этим мой первокурсный мозг разобраться не в состоянии...

Я знаю несколько людей, которые могли бы в 1 семестре 1 курса в этом разобраться. Но они бы точно не полезли сюда спрашивать.

[Sul]

Цитата:

(Оффтоп)

Sul в сообщении #662761 писал(а):

Боюсь, с этим мой первокурсный мозг разобраться не в состоянии...

Я знаю несколько людей, которые могли бы в 1 семестре 1 курса в этом разобраться. Но они бы точно не полезли сюда спрашивать.

(Оффтоп)

Таки есть, не спорю :) Я ничем подобным не занимался и не хочется лезть в эту теорию ради одной задачи

-- 24.12.2012, 01:26 --

Кстати насчет существования множества P у меня тоже возникли сомнения, правда глупо было бы верить, что автор книги этого не учел

[Sul]

Вообще, мне известно, что риманов интеграл от 0 до х непрерывной функции действительно является ее первообразной, однако насчет аппроксиомативно-непрерывных слышу впервые, да и что там с этим определением тоже впервые встретился. Вообще говоря, если бы существовала интегрируемая по риману функция, равная нулю на открытом и всюду плотном множестве и не равная на его дополнении, то все было бы доказано. Как я понимаю, существование этой функции автор и пытается доказать.

[g______d]

Sul в сообщении #662787 писал(а):

Как я понимаю, существование этой функции автор и пытается доказать.

Нет.

Так, если у Вас еще не было интеграла Лебега, забудьте все, что я говорил. Лектору можете показать страничку из книжки, но Вам нужна еще пара семестров чтобы иметь шанс разобраться в решении.

Я просто по уровню задачи предположил, что у вас какой-то очень продвинутый курс теории функций, но это было глупо с моей стороны.