Доказать, что функция - константа (непростая задача)

[Sul]

Задача интересная, но совершенно непонятно как к ней подойти, звучит следующим образом:
Функция дифференцируема на промежутке, причем ее производная на открытом и всюду-плотном множестве равна нулю. Требуется доказать, что функция постоянна на этом промежутке.

Интересно, например, что если отказаться от дифференцируемости на всем промежутке, оставив лишь непрерывность и равенство нулю производной на соответствующем множестве, то легко привести контрпример с Канторовой лестницей, впрочем не о нем здесь речь.

Говорят, здесь нужна какая-то нестандартная идея, впрочем для кого не стандартная, а для кого-то может и обычная. Буду благодарен, за любую подсказку в правильном направлении.

[g______d]

Я пока не знаю, как это решать. Но если отказаться от того, что множество открытое, то тоже есть контрпример

http://en.wikipedia.org/wiki/Pompeiu_derivative

[Sul]

Эх, к сожалению на английском плохо понятно, но контрпримеры редко помогают...
UPD: вроде как разобрался с контрпримером, но он и правда слишком мудреный чтобы до него простому смертному додуматься :)

Что делать с задачей все равно не ясно

[g______d]

Вот здесь обсуждается эта задача

https://groups.google.com/forum/?fromgr ... 7Izp8cEiUJ

http://sci.tech-archive.net/Archive/sci ... 00509.html

https://groups.google.com/forum/?fromgr ... LWpyWnO0QJ

Насколько я понял из последнего текста, ответ все-таки "нет". Можете поискать ссылку [9], она должна быть в сборнике "Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Вып. 1", ред. Забрейко П. П., Ярославский государственный университет, 1976.

Остальные ссылки даже не на английском.

[Sul]

Ответ "Нет" на что? Я почти уверен, что функция константа, потому, что так считают наш семинарист и лектор, который же эту задачу и придумал

[g______d]

Я так понял, что из текстов следует, что существует контрпример.

Цитата:

The
last three papers also point out that if E does not
have a totally imperfect complement, then there exists
a non-constant continuous function f such that f'=0 on
the complement of E, a result whose proof can also be
found in Semenov [9].

Но я не проверял это, конечно. Я подумал и бегло просмотрел обсуждения. Мне кажется, что это сложная задача. Мне тоже было бы интересно узнать решение.

[Sul]

В последнем тексте вроде бы обсуждается немного другая задача, там что-то про правую и левую производную, разве нет?

[g______d]

Там в середине есть 3 пункта, один из которых

Цитата:

* If f is continuous and f' = 0 at co-countably
many points, then f is constant on R.

В последнем абзаце описывается, на какие подмножества это можно распространить. Вроде бы из самой последней фразы следует, что для произвольного открытого плотного подмножества это неверно.

-- 23.12.2012, 23:05 --

В любом случае, это даже не препринт, его сложно проверить, а интересующие ссылки труднонаходимые.

-- 23.12.2012, 23:13 --

Вот в этом тексте есть лемма 1

http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dm ... 2-1_22.pdf

Правда, ее доказательство ссылается опять на статью, которую я не могу прочитать.

[Sul]

А о чем эта лемма? я там вообще ничего не понимаю...

[g______d]

Существует такая функция $\varphi\colon \mathbb R\to \mathbb R$, что $\varphi$ всюду дифференцируема, $0\le \varphi'\le C$, $\varphi=0$ на $(-\infty;0]$, $\varphi=1$ на $[1;+\infty)$, $0<\varphi<1$ на $(0;1)$, $\varphi'=0$ на плотном открытом подмножестве $\mathbb R$.

Не знаю, верна она или нет.

[Sul]

Если бы она и вправду существовала, было бы очень интересно! Я правда не вижу, на что ссылается эта лемма, Вы можете показать эту статью? Или ее вообще нету?

[g______d]

Ссылается на лемму 7 отсюда

http://www.ams.org/journals/tran/1950-0 ... 7338-9.pdf

Правда, я с ходу не могу понять, какое она имеет отношение к делу. Же не па ля па Франсе.

[Sul]

Ну я понял лишь, что за M0 он обозначает тип множеств F-сигма, таких, что любая точка из них является двусторонней точкой накопления. Остальное я понять не в состоянии. И все-таки уверен, что задача верна...

Нам все еще нужна помощь!

[g______d]

Книга Bruckner, Differentiation of Real Functions, лежит на gen.lib.rus.ec

Контрпример строится на странице 35.

[Sul]

Хм, я правильно понял, что за контрпример он берет интеграл от 0 до х канторовой лестницы? Или производная от этой функции? Интеграл уж точно никак не подойдет...

-- 24.12.2012, 00:21 --

Нет, производная от этой функции и есть канторова лестница. Я совершенно не понимаю, о чем там идет речь, буду очень признателен за разъяснение