Делители [2 вопроса]

[xmaister]

1. Пусть $a,b\in A$, где $A$- целостное кольцо, тогда говорят, что $a|b$, где $a,b\ne 0$, если существует $c\in A$, что $b=ca$. Почему понятие делимости имеет смысл вводить только в целостном кольце и для ненулевых элементов? И почему понятие не приводимости имеет смысл определить только в целостном кольце?

2. Пусть $A$- кольцо главных идеалов. Тогда ясно, что для любых двух ненулевых элементов $a,b$ существует наибольший общий делитель. А вот если положить, что для двух ненулевых $a,b$ элементов существует наибольший общий делитель $d$, то верно ли что $(d)=(a,b)$?

[nnosipov]

xmaister в сообщении #662591 писал(а):

А вот если положить, что для двух ненулевых $a,b$ элементов существует наибольший общий делитель $d$, то верно ли что $(d)=(a,b)$?

Нет, неверно. Контрпримером будет любое факториальное кольцо, не являющееся кольцом главных идеалов.

[apriv]

Ненулевые элементы там совершенно зря; если ими ограничиваться, хорошего понятия делимости не получится никак. А вот целостность кольца по делу; без нее совершенно непонятно, как определить ассоциированность: возникает несколько неэквивалентных аналогов без особенно хороших свойств.

[xmaister]

apriv в сообщении #662736 писал(а):

Ненулевые элементы там совершенно зря; если ими ограничиваться, хорошего понятия делимости не получится никак.

Т.е. стоит ограничится только не нулевым делителем?

apriv в сообщении #662736 писал(а):

А вот целостность кольца по делу; без нее совершенно непонятно, как определить ассоциированность:

А это вообще что и зачем это определять?

[apriv]

В определении выше и делимое, и делитель могут быть нулевыми. В области целостности элементы называются ассоциированными, если они отличаются умножением на обратимый элемент. В факториальном кольце, например, разложение на неприводимые единственно с точностью до перехода к ассоциированным.

[xmaister]

Тогда тем более не понятна мотивация разрешать делить на $0$ и делить $0$. В области целостности тогда на $0$ будет делится только $0$. В факториальном кольце все делители, с точностью до перехода к ассоциированным можно описать по его разложению на неприводимые. А у нуля будут делители все элементы целостного кольца...

[apriv]

xmaister в сообщении #662808 писал(а):

Тогда тем более не понятна мотивация разрешать делить на $0$ и делить $0$.

Не понятна мотивация не разрешать делить на $0$ и делить $0$.

[Joker_vD]

Ну, делить на ноль, положим, никто и не разрешает — ноль является делителем только ноля. А насчет того, что "все элементы целостного кольца делят ноль" — так это его характерное свойство. Иногда бывает очень полезно для доказательства того, что элемент, на который мы сейчас глядим, является нулем кольца. В конце концов, еще в школе рассказывали, что все числа являются делителями нуля, нет?

[xmaister]

Если добавить, что можно делить нулевые элементы то чем это будет лучше. Просто Ленг пишет:

[apriv]

Есть, например, замечательное свойство: если $a|b$ и $a|c$, то $a|b+c$. Ну и вообще, все элементы, делящиеся на $a$, образуют идеал.