2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 верна ли оценка погрешности МНРП
Сообщение23.12.2012, 14:37 


15/04/12
162
Задача:
Верна ли оценка погрешности для функции $f(x)=\cos(\pi x)+(2x-1)^3$ на отрезке $[0,1]$
$$\|f(x)-Q^0_2\|<\frac{1}{190}$$
Я хотел сделать по частям - приблизить слагаемое с косинусом и многочлен отдельно. Вообщем оказалось что этот многочлен это на самом деле многочлен Чебышева со старшим членом 8 на отрезке $[0,1]$ с нормой $1$ и наилучший приближающий его многочлен второй степени это просто $0$.Еще можно заметить что $-(2x-1)^3$ совпадает с косинусом в трех точках $0,0.5,1$, но вообще разность там бывает больше $1/190$, была гипотеза что уже 0 приближает сумму с этой точностью, а мнрп еще лучше..

 Профиль  
                  
 
 Re: верна ли оценка погрешности МНРП
Сообщение23.12.2012, 14:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
CptPwnage в сообщении #662347 писал(а):
Я хотел сделать по частям

Нельзя, только целиком.

 Профиль  
                  
 
 Re: верна ли оценка погрешности МНРП
Сообщение23.12.2012, 14:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
CptPwnage в сообщении #662347 писал(а):
Задача:
Верна ли оценка погрешности для функции $f(x)=\cos(\pi x)+(2x-1)^3$ на отрезке $[0,1]$
$$|f(x)-Q^0_2|<\frac{1}{190}$$

Что такое $Q^0_2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: верна ли оценка погрешности МНРП
Сообщение23.12.2012, 15:09 


15/04/12
162
Многочлен второй степени наилучшим образом приближающий $f(x)$ (то есть $\|f(x)-Q_2^0\|$ минимальна)

 Профиль  
                  
 
 Re: верна ли оценка погрешности МНРП
Сообщение23.12.2012, 15:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
CptPwnage в сообщении #662359 писал(а):
Многочлен второй степени наилучшим образом приближающий $f(x)$ (то есть $\|f(x)-Q_2^0\|$ минимальна)

Что такое $\|f(x)-Q_2^0\|$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: верна ли оценка погрешности МНРП
Сообщение23.12.2012, 15:20 


15/04/12
162
Максимум модуля на отрезке $[0,1]$

 Профиль  
                  
 
 Re: верна ли оценка погрешности МНРП
Сообщение23.12.2012, 15:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Т.к. функция нечетна относительна середины отрезка, этот наилучший полином второй степени фактически будет полиномом первой степени. Приближать он будет хуже, чем половина максимального отклонения функции от нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: верна ли оценка погрешности МНРП
Сообщение23.12.2012, 15:56 


15/04/12
162
Точно, понятно, будет нечетна относительно середины отрезка, значит это линейная функция. А почему будет хуже чем половина максимального отклонения? Хотя это вроде понятно, раз функция линейна...
И дальше нужно как-то оценить максимум модуля, возможно используя что это многочлен Чебышева?

 Профиль  
                  
 
 Re: верна ли оценка погрешности МНРП
Сообщение23.12.2012, 16:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
CptPwnage в сообщении #662386 писал(а):
А почему будет хуже чем половина максимального отклонения? Хотя это вроде понятно, раз функция линейна...
Не просто линейная. На концах отрезка она обращается в ноль, так что если проходящей через середину отрезка искомой прямой придать отрицательный наклон (чтобы приблизить ее к функции), прямая отойдет от нуля в концах отрезка.

 Профиль  
                  
 
 Re: верна ли оценка погрешности МНРП
Сообщение23.12.2012, 17:49 


15/04/12
162
Так она же не обязана быть 0 в концах, просто линейная проходящая через середину..

 Профиль  
                  
 
 Re: верна ли оценка погрешности МНРП
Сообщение23.12.2012, 18:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
CptPwnage в сообщении #662435 писал(а):
Так она же не обязана быть 0 в концах, просто линейная проходящая через середину..

Но исходная-то -- равна нулю на концах. Попытайтесь развернуть горизонтальную прямую относительно центра так, чтобы на концах она отошла от нуля на половину максимума исходной функции. Тогда в точке максимума исходной функции эта прямая приблизится к ней уж всяко меньше, чем на половину максимума. Это и означает, что норма разности между исходной функцией и прямой никак не может быть сделана меньше половины максимума.

Сам максимум искать не нужно. Достаточно прикинуть значение исходной функции на четверти от конца; там всё очень грубо.

 Профиль  
                  
 
 Re: верна ли оценка погрешности МНРП
Сообщение23.12.2012, 18:36 


15/04/12
162
Понятно, смотрим на поведение прямой в двух точках. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: верна ли оценка погрешности МНРП
Сообщение23.12.2012, 19:55 


15/04/12
162
Чтобы новую тему не создавать, тут спрошу:
что если такая функция $\sin(\pi x) + 4x^2-x$? задача аналогичная, но тут уже нет никакой нечетности...
Оценка правда не $\frac{1}{190}$ а $\frac{1}{30}$

 Профиль  
                  
 
 Re: верна ли оценка погрешности МНРП
Сообщение23.12.2012, 21:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну, поскольку запрашивается многочлен наилучшего приближения именно второй степени -- второе слагаемое можно на какое-то время гордо проигнорировать и приближать только синус. Тогда логика сводится к предыдущей, только ещё грубее.

 Профиль  
                  
 
 Re: верна ли оценка погрешности МНРП
Сообщение23.12.2012, 22:00 


15/04/12
162
Тут используем что синус четен относительно $\frac{1}{2}$ , значит мнрп четный относительно $\frac{1}{2}$, тут видимо можно подобрать такой чтобы синус приближал?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group