верна ли оценка погрешности МНРП

[CptPwnage]

Задача:
Верна ли оценка погрешности для функции $f(x)=\cos(\pi x)+(2x-1)^3$ на отрезке $[0,1]$

$$\|f(x)-Q^0_2\|<\frac{1}{190}$$

Я хотел сделать по частям - приблизить слагаемое с косинусом и многочлен отдельно. Вообщем оказалось что этот многочлен это на самом деле многочлен Чебышева со старшим членом 8 на отрезке $[0,1]$ с нормой $1$ и наилучший приближающий его многочлен второй степени это просто $0$.Еще можно заметить что $-(2x-1)^3$ совпадает с косинусом в трех точках $0,0.5,1$, но вообще разность там бывает больше $1/190$, была гипотеза что уже 0 приближает сумму с этой точностью, а мнрп еще лучше..

[ewert]

CptPwnage в сообщении #662347 писал(а):

Я хотел сделать по частям

Нельзя, только целиком.

[TOTAL]

CptPwnage в сообщении #662347 писал(а):

Задача:
Верна ли оценка погрешности для функции $f(x)=\cos(\pi x)+(2x-1)^3$ на отрезке $[0,1]$

$$|f(x)-Q^0_2|<\frac{1}{190}$$

Что такое $Q^0_2$?

[CptPwnage]

Многочлен второй степени наилучшим образом приближающий $f(x)$ (то есть $\|f(x)-Q_2^0\|$ минимальна)

[TOTAL]

CptPwnage в сообщении #662359 писал(а):

Многочлен второй степени наилучшим образом приближающий $f(x)$ (то есть $\|f(x)-Q_2^0\|$ минимальна)

Что такое $\|f(x)-Q_2^0\|$ ?

[CptPwnage]

Максимум модуля на отрезке $[0,1]$

[TOTAL]

Т.к. функция нечетна относительна середины отрезка, этот наилучший полином второй степени фактически будет полиномом первой степени. Приближать он будет хуже, чем половина максимального отклонения функции от нуля.

[CptPwnage]

Точно, понятно, будет нечетна относительно середины отрезка, значит это линейная функция. А почему будет хуже чем половина максимального отклонения? Хотя это вроде понятно, раз функция линейна...
И дальше нужно как-то оценить максимум модуля, возможно используя что это многочлен Чебышева?

[TOTAL]

CptPwnage в сообщении #662386 писал(а):

А почему будет хуже чем половина максимального отклонения? Хотя это вроде понятно, раз функция линейна...

Не просто линейная. На концах отрезка она обращается в ноль, так что если проходящей через середину отрезка искомой прямой придать отрицательный наклон (чтобы приблизить ее к функции), прямая отойдет от нуля в концах отрезка.

[CptPwnage]

Так она же не обязана быть 0 в концах, просто линейная проходящая через середину..

[ewert]

CptPwnage в сообщении #662435 писал(а):

Так она же не обязана быть 0 в концах, просто линейная проходящая через середину..

Но исходная-то -- равна нулю на концах. Попытайтесь развернуть горизонтальную прямую относительно центра так, чтобы на концах она отошла от нуля на половину максимума исходной функции. Тогда в точке максимума исходной функции эта прямая приблизится к ней уж всяко меньше, чем на половину максимума. Это и означает, что норма разности между исходной функцией и прямой никак не может быть сделана меньше половины максимума.

Сам максимум искать не нужно. Достаточно прикинуть значение исходной функции на четверти от конца; там всё очень грубо.

[CptPwnage]

Понятно, смотрим на поведение прямой в двух точках. Спасибо!

[CptPwnage]

Чтобы новую тему не создавать, тут спрошу:
что если такая функция $\sin(\pi x) + 4x^2-x$? задача аналогичная, но тут уже нет никакой нечетности...
Оценка правда не $\frac{1}{190}$ а $\frac{1}{30}$

[ewert]

Ну, поскольку запрашивается многочлен наилучшего приближения именно второй степени -- второе слагаемое можно на какое-то время гордо проигнорировать и приближать только синус. Тогда логика сводится к предыдущей, только ещё грубее.

[CptPwnage]

Тут используем что синус четен относительно $\frac{1}{2}$ , значит мнрп четный относительно $\frac{1}{2}$, тут видимо можно подобрать такой чтобы синус приближал?