Линал, детали доказательства

[nastya2011]

Пусть $f_1, f_2, ..., f_n $- линейно независимая система линейных функционалов на линейном пространстве $X$, а $\lambda_1,..,\lambda_n$- комплексные числа. Доказать, что существует такой вектор $x \in X$, что $f_k(x)=\lambda_k $ для всех $k \in [1,n]$
Я начала доказывать по индукции.
База: если есть один функционал, то для любого $\lambda_1$ существует нужный вектор (так как в любом случае можно домножить на константу и прочее). Это очевидно.
Пусть для $ k \in [1,n-1]$ это верно.
докажем для $k=n$.
Рассмотрим ядро $f_n$. Наше пространство $X$ раскладывается в прямую сумму ядра и $<x>$, где x-незануляющий вектор. Докажем этот факт:
пусть $f_n(x)=\lambda$
Рассмотрим произвольный элемент $y \in X$. Если он лежит в $\operatorname{Ker} f_n$, то он зануляется, если $y$ не лежит в ядре, то $ f_n(y)=\varphi$.
Заметим, что $f_n(y-(\varphi / \lambda) x)=0$(просто проверить, раскрыв по линейности скобки), то есть получаем элемент из ядра, обозначим его через $u$.
Проверим единственность $u+\lambda x = v+\varphi x, u-v=(-\lambda+\varphi) x$, справа элемент из ядра, $x$ не равен $0$, то есть получаем, что $\lambda=\varphi$
и вроде получаем, что утверждение про разложение доказано, верно? или есть пробелы? и если есть, то как их убрать? (это вопрос 1)
итак: берем ядро последней функции- это пространство на единицу меньшей размерности, чем исходное.
допустим на нем $f_1,f_2, ...f_{n-1} $ линейно зависимы с коэффициентами $a_1,...,a_{n-1}$
тогда рассмотрим функционал $a_1 f_1+a_2 f_2+...+a_{n-1} f_{n-1}$.
рассмотрим его на всем исходном пространстве
на векторе $x$: $(a_1 f_1+....+a_{n-1} f_{n-1})(x)=a_n f_n$, $(a_1 f_1+....+(-a_n) f_n)(x)=0$ для некоторого $a_n$, т.к. есть 2 функционала $f_n$ и $a_n+....+a_{n-1} f_{n-1}$на одномерном пространстве следовательно они линейно зависимы.
Но тогда $(a_1 f_1+....+(-a_n) f_n)(y)=0$ для любого $y$ из исходного пространства, т.к. эта линейная комбинация зануляется и на векторе $x$ -дополнительном к ядру $f_n$ и на всем ядре-противоречие.
итак $a_1 f_1+a_2 f_2+...+a_{n-1} f_{n-1}$ линейно независимы на ядре последней функции
тогда у ним можно применить утверждение индукции. И дальше все просто. Вопрос 2, на самом деле я не очень уверена в правильности доказательства линейной независимости , и противоречия особо не вижу :) помогите довести до ума оба момента, пожалуйста

[nastya2011]

и укажите на ошибки если они есть. Заранее спасибо

[nnosipov]

У Вас $X$ предполагается конечномерным?

[nastya2011]

nnosipov в сообщении #662448 писал(а):

У Вас $X$ предполагается конечномерным?

про него ничего неизвестно, но все равно по идее разложение на ядро и на элемент имеет место быть вроде

[nnosipov]

Не вижу ошибки.