Пусть

- линейно независимая система линейных функционалов на линейном пространстве

, а

- комплексные числа. Доказать, что существует такой вектор

, что

для всех
![$k \in [1,n]$ $k \in [1,n]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/0/7f03f772ea80411dc79e26909fcfc8e982.png)
Я начала доказывать по индукции.
База: если есть один функционал, то для любого

существует нужный вектор (так как в любом случае можно домножить на константу и прочее). Это очевидно.
Пусть для
![$ k \in [1,n-1]$ $ k \in [1,n-1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/e/e4ef4ccba82127482e933b810839f9c282.png)
это верно.
докажем для

.
Рассмотрим ядро

. Наше пространство

раскладывается в прямую сумму ядра и

, где x-незануляющий вектор. Докажем этот факт:
пусть

Рассмотрим произвольный элемент

. Если он лежит в

, то он зануляется, если

не лежит в ядре, то

.
Заметим, что

(просто проверить, раскрыв по линейности скобки), то есть получаем элемент из ядра, обозначим его через

.
Проверим единственность

, справа элемент из ядра,

не равен

, то есть получаем, что

и вроде получаем, что утверждение про разложение доказано, верно? или есть пробелы? и если есть, то как их убрать? (это вопрос 1)
итак: берем ядро последней функции- это пространство на единицу меньшей размерности, чем исходное.
допустим на нем

линейно зависимы с коэффициентами

тогда рассмотрим функционал

.
рассмотрим его на всем исходном пространстве
на векторе

:

,

для некоторого

, т.к. есть 2 функционала

и

на одномерном пространстве следовательно они линейно зависимы.
Но тогда

для любого

из исходного пространства, т.к. эта линейная комбинация зануляется и на векторе

-дополнительном к ядру

и на всем ядре-противоречие.
итак

линейно независимы на ядре последней функции
тогда у ним можно применить утверждение индукции. И дальше все просто. Вопрос 2, на самом деле я не очень уверена в правильности доказательства линейной независимости , и противоречия особо не вижу :) помогите довести до ума оба момента, пожалуйста