Теория вероятностей

[masterflomaster]

Прочитал. Перерешал. Теперь верно?

$F_{\min\{{\xi^3}, \eta\}} = 1 - P({\min\{{\xi^3}, \eta\}} \geq x) = 1 - P((\xi^3 \geq x)\cap(\eta \geq x)) =$ $$ $$ $=1 - P(\xi^3 \geq x)\cdot P(\eta \geq x) =1 - F(\sqrt[3]x)\cdot F(x) =1 - {F}_{\xi^3}({x}) \cdot {F}_{\eta}({x}) =$ $$ $$ $=1 - (1 - e^{{-\alpha}x})(1 - e^{-\alpha\sqrt[3]x}) = e^{-\alpha\sqrt[3]x} + e^{-\alpha{x}} + e^{{{-\alpha}x} - {\alpha}{\sqrt[3]x}}; ({x} > 0).$ $$ $$ ${p}_{F_{\max\{{\xi^3}, \eta\}}} = -{\alpha}e^{{-\alpha}x} - \frac{\alpha}{3\sqrt[3]x^2}{e^{-{\alpha}{\sqrt[3]x}}} - e^{{-\alpha}x - {\alpha}{\sqrt[3]x}}({-\alpha} - \frac{\alpha}{3\sqrt[3]x^2}); ({x} > 0).$

Ой, только не $e^{{-\alpha}x - {\alpha}{\sqrt[3]x}}({-\alpha} - \frac{\alpha}{3\sqrt[3]x^2})$, а $e^{{-\alpha}x - {\alpha}{\sqrt[3]x}}({\alpha} + \frac{\alpha}{3\sqrt[3]x^2})$

[--mS--]

Ну так сравните с предыдущим правильным ответом, и будет ясно, верно или нет.

[masterflomaster]

Мне просто преподаватель сказал, что третий пункт неправильный (начальный вариант, где вы сказали, что верно) и ответ у него должен совпасть со вторым пунктом (почему?????), поэтому и засомневался в истинности 3-его пункта. Что делать я не знаю.

[--mS--]

Ну например исправить ошибки в том решении, которое преподаватель забраковал, получить-таки положительную плотность, сравнить с полученной сейчас.

Проверить, что полученная функция является плотностью. Проверить, являются ли таковыми плотности на предыдущей странице.

Да много чего сделать можно. Делать надо.

[masterflomaster]

Вот, уже понятнее в каком направлении двигаться, спасибо) Что из этого выйдет - напишу.

[masterflomaster]

А сейчас верно? Плотность распределения такая же как в и в самом первом варианте:

$F_{\min\{{\xi^3}, \eta\}} = 1 - P({\min\{{\xi^3}, \eta\}} \geq x) = 1 - P((\xi^3 \geq x)\cap(\eta \geq x)) =$ $$ $$ $=1 - P(\xi^3 \geq x)\cdot P(\eta \geq x) =1 - (1 - F(\sqrt[3]x))\cdot (1 - F(x)) =$ $$ $$ $=1 - (1 - 1 + e^{{-\alpha}x})(1 - 1 + e^{-\alpha\sqrt[3]x}) =1 - e^{{{-\alpha}x} - {\alpha}{\sqrt[3]x}}; ({x} > 0).$ $$ $$ ${p}_{F_{\min\{{\xi^3}, \eta\}}} = e^{{-\alpha}x - {\alpha}{\sqrt[3]x}}({\alpha} + \frac{\alpha}{3\sqrt[3]x^2}); ({x} > 0).$

Это можно использовать для оценки результата?:

1. Если данная плотность распределения существует, то $e^{{-\alpha}x - {\alpha}{\sqrt[3]x}}({\alpha} + \frac{\alpha}{3\sqrt[3]x^2})\geq 0 $

2. Если данная плотность распределения существует, то $\int_{-\infty}^\infty e^{{-\alpha}x - {\alpha}{\sqrt[3]x}}({\alpha} + \frac{\alpha}{3\sqrt[3]x^2}) d(x)= 1$

3. Чтобы убедиться, что плотность ${p}_{F_{\min\{{\xi^3}, \eta\}}}$ соответствует функции $F_{\min\{{\xi^3}, \eta\}}$ проверим:

$F_{\min\{{\xi^3}, \eta\}} = \int_{-\infty}^x e^{{-\alpha}x - {\alpha}{\sqrt[3]x}}({\alpha} + \frac{\alpha}{3\sqrt[3]x^2}) d(x)$

Что здесь не так? Или всё верно?

[--mS--]

Ответ наконец верен, а вот Ваша проверка на 100% бессмысленна.

Что значит "если данная плотность существует"? Эта фраза вообще о чём? Выбирайте или напишите свой вариант:
1) если функция $e^{-\alpha x -\alpha\sqrt[3]{x}}\bigl(\alpha+\dfrac{\alpha}{3\sqrt[3]{x^2}}\bigr),\, x>0$ существует... (в этом, кажется, трудно сомневаться?)
2) если функция $e^{-\alpha x -\alpha\sqrt[3]{x}}\bigl(\alpha+\dfrac{\alpha}{3\sqrt[3]{x^2}}\bigr), \, x>0$ является плотностью... (вроде как именно это Вам нужно проверить, а не предполагать выполненным?)
3) если распределение величины $\min(\xi^3,\eta)$ имеет плотность... (единственное осмысленное предположение, но к выяснению того, правильный ли у нас ответ, отношения не имеет)

Вы написали равенство $\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x -\alpha\sqrt[3]{x}}\left(\alpha+\dfrac{\alpha}{3\sqrt[3]{x^2}}\right)\,dx=1$. Вы его проверили? Покажите.

masterflomaster в сообщении #661300 писал(а):

3. Чтобы убедиться, что плотность ${p}_{F_{\min\{{\xi^3}, \eta\}}}$ соответствует функции $F_{\min\{{\xi^3}, \eta\}}$ проверим:

$F_{\min\{{\xi^3}, \eta\}} = \int_{-\infty}^x e^{{-\alpha}x - {\alpha}{\sqrt[3]x}}({\alpha} + \frac{\alpha}{3\sqrt[3]x^2}) d(x)$

Ну и как, проверили? Выполнено?

Вот есть у Вас некая функция $p(x)$. Например, $p(x)=e^{-\alpha x -\alpha\sqrt[3]{x}}\left(\alpha+\dfrac{\alpha}{3\sqrt[3]{x^2}}\right),\, x>0$ (кстати, при $x\leqslant 0$ ответ у Вас каков? ). Чтобы она являлась плотностью некоторого распределения, необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательной и интеграл от неё по всей оси равнялся единице. Эти два свойства следует проверить, а не постулировать, если уж есть сомнения в ответе.

[masterflomaster]

Хорошо, учту. Огромное спасибо)