Теория вероятностей

[masterflomaster]

Правильно ли я решил?

$\xi$ и $\eta$ независимые случайные величины имеют одинаковое показательное распределение с параметром $\alpha$. Найти функции распределения и плотности распределения случайных величин: а)${\xi^3}$; б)max{${\xi^3}$, $\eta$}; в)min{${\xi^3}$, $\eta$}.

Решение. Случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют одинаковое показательное распределение, следовательно:
${p}_{\xi}({x}) = {p}_{\eta}({x}) = {\alpha}{e^{-{\alpha}{x}}}.$


$a){F}_{\xi}({x}) = {p}_{\eta}({x}) = \int_{0}^{x}{p}(t){d}{t} = 1 - {e^{-{\alpha}{x}}}; ({x} > 0).$

${F}_{\xi^3}({x}) = P(\xi^3 < x) = P(\xi < \sqrt[3]x) = F(\sqrt[3]x) = 1 - {e^{-{\alpha}{\sqrt[3]x}}};$

$(x > \xi^3) and ({x} > 0).$

${p}_{\xi^3}({x}) = \frac{\alpha}{3\sqrt[3]x^2}e^{-\alpha\sqrt[3]x}; ({x} > 0). $





$b)F_{\max\{{\xi^3}, \eta\}} = P({\max\{{\xi^3}, \eta\}} < x) = P((\xi^3 < x)\cap(\eta < x)) =$

$= P(\xi^3 < x)*P(\eta < x) = F(\sqrt[3]x)*F(x) = {F}_{\xi^3}({x}) * {F}_{\eta}({x}) =$

$= (1 - e^{{-\alpha}x})(1 - e^{-\alpha\sqrt[3]x}) = 1 - e^{-\alpha\sqrt[3]x} - e^{-\alpha{x}} -e^{{{-\alpha}x}- {\alpha}{\sqrt[3]x}};$

$(x > \xi^3) and (x > \eta) and ({x} > 0).$

${p}_{F_{\max\{{\xi^3}, \eta\}}} = {\alpha}e^{{-\alpha}x} + \frac{\alpha}{3\sqrt[3]x^2}{e^{-{\alpha}{\sqrt[3]x}}} + e^{{-\alpha}x - {\alpha}{\sqrt[3]x}}({-\alpha} - \frac{\alpha}{3\sqrt[3]x^2});$

$ ({x} > 0).$





c)$F_{\min\{{\xi^3}, \eta\}} = P({\min\{{\xi^3}, \eta\}} < x) = P((\xi^3 < x)\cup(\eta < x)) =$

$= P(\xi^3 < x) + P(\eta < x) - P((\xi^3 < x)\cap(\eta < x)) = {F}_{\xi^3}({x}) + $

$+ {F}_{\eta}({x}) - {F}_{\xi^3}({x}) * {F}_{\eta}({x}) = 1 - e^{{-\alpha}x} + 1 - {e^{-{\alpha}{\sqrt[3]x}}} + (1 - {e^{-{\alpha}{\sqrt[3]x}}} - $

$- e^{{-\alpha}x - {\alpha}{\sqrt[3]x}}) = 3 - e^{{-\alpha}x} - 2{e^{-{\alpha}{\sqrt[3]x}}} - e^{{-\alpha}x - {\alpha}{\sqrt[3]x}};

$(x > \xi^3) and (x > \eta) and ({x} > 0).$

${p}_{F_{\min\{{\xi^3}, \eta\}}} = - e^{{-\alpha}x - {\alpha}{\sqrt[3]x}}({-\alpha} - \frac{\alpha}{3\sqrt[3]x^2}); ({x} > 0).$

[PAV]

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

Формулы плохо читабельны, необходимо оформить их лучше. Не заносите весь текст внутрь math

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

Фигурные скобки, максимум и минимум пишут так:

\{, \}, \min, \max

$\{, \}, \min, \max$

[--mS--]

masterflomaster в сообщении #658275 писал(а):

$(x > \xi^3) and ({x} > 0).$
...
$(x > \xi^3) and (x > \eta) and ({x} > 0).$
...
$(x > \xi^3) and (x > \eta) and ({x} > 0).$

А что Вы имеете в виду, выписывая эти неравенства? Вы ищете вещественнозначную функцию, зависящую от вещественной же переменной $x$, и вдруг какие-то случайные области. Число $x=5$ этим неравенствам устраивает или нет? Иными словами, в точке $x=5$ Ваша функция (любая из трёх) равна нулю или не нулю?

Событие $\{\min(a,\,b)<x\}$ противоположно к событию $ \{\min(a,\,b)\geqslant x\} = \{a\geqslant x\}\cap\{b\geqslant x\}$. Так проще. Иными словами, вероятность объединения двух независимых событий проще решать перейдя к пересечению их дополнений.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #658481 писал(а):

Число $x=5$ этим неравенствам устраивает или нет?

Удовлетворяет, а не устраивает ;-)

[--mS--]

(Оффтоп)

Ужели? В данном контексте меня вполне устраивает именно это слово.

[gris]

(Оффтоп)

Поскольку неравенств три, слово "устраивает" вполне подходит, хотя более корректно сказать "устроивает".

[Aritaborian]

(Оффтоп)

--mS--, Слово-то словом, но выразились вы безграмотно, увы.

[--mS--]

(Оффтоп)

Не хотела бы Вас расстраивать, но мне абсолютно не интересно это Ваше мнение.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Не пытался вас заинтересовать, просто указал на ошибку.

[masterflomaster]

--mS-- в сообщении #658481 писал(а):

masterflomaster в сообщении #658275 писал(а):

$(x > \xi^3) and ({x} > 0).$
...
$(x > \xi^3) and (x > \eta) and ({x} > 0).$
...
$(x > \xi^3) and (x > \eta) and ({x} > 0).$

А что Вы имеете в виду, выписывая эти неравенства? Вы ищете вещественнозначную функцию, зависящую от вещественной же переменной $x$, и вдруг какие-то случайные области. Число $x=5$ этим неравенствам устраивает или нет? Иными словами, в точке $x=5$ Ваша функция (любая из трёх) равна нулю или не нулю?

Событие $\{\min(a,\,b)<x\}$ противоположно к событию $ \{\min(a,\,b)\geqslant x\} = \{a\geqslant x\}\cap\{b\geqslant x\}$. Так проще. Иными словами, вероятность объединения двух независимых событий проще решать перейдя к пересечению их дополнений.

Я все-таки этим способом буду делать.
По поводу неравенств. Это область изменения x. Как я понял, во всех случаях (x > 0). Остальные условия условиями назвать нельзя) Я так понял?

[--mS--]

Верно поняли.

(Оффтоп)

А вот чего до сих пор не поняли - так это того, что все формулы следует оформлять средствами $\TeX$. Понимаете, все. И $x>0$. И $f(x)$. И т.д. Неприятно читать пляшущий текст.

[masterflomaster]

Большое спасибо)
Оффтоп прочел, учту.

[masterflomaster]

Мне преподаватель посоветовал 3-ий пункт все-таки через противоположное событие решить. Верно ли я решил?

$F_{\min\{{\xi^3}, \eta\}} = P({\min\{{\xi^3}, \eta\}} \geq x) = P((\xi^3 \geq x)\cap(\eta \geq x)) = $ $$ $$ $ = (1 - P(\xi^3 < x)) \cdot (1 - P(\eta < x)) = (1 - 1 + e^{{-\alpha}x}) \cdot $ $$ $$ $ \cdot (1 - 1 + e^{-\alpha\sqrt[3]x}) = e^{{-\alpha}x - {\alpha}{\sqrt[3]x}}; ({x} > 0). $ $$ $$ ${p}_{F_{\min\{{\xi^3}, \eta\}}} = e^{{-\alpha}x - {\alpha}{\sqrt[3]x}}({-\alpha} - \frac{\alpha}{3\sqrt[3]x^2}); ({x} > 0).$

[--mS--]

См. определение функции распределения.