Оператор умножения на независимую переменную

[nastya2011]

пусть оператор умножения на независимую переменную $(Ax)(t)=t x(t)$ действует в $L_p[0,1], p \in [1,\infty]$. Найти норму и ядро этого оператора. Выяснить, сюръективен ли оператор и совпадает ли его замыкание образа со всем пространством.
Вот мои идеи, сначала разобъем на два случай, первый $p$ не бесконечность, тогда $||A x||=(\int_0^1 |t x(t)|^p)^{1/p}$, так как $t \in [0,1]$, то норма оператора в этом случае ограничена $1$, но не получается построить пример, доказывающий этот факт.
Во втором случае, $p=\infty$, имеем $||A x||=\inf_{\mu(A)=0} \sup_{[0,1]\A} |t x(t)|^p \le^{t \in [0,1] } ||x(t)||$, то норма оператора в этом случае ограничена $1$, и опять не могу привести пример :( ну наверное они совпадут.
Ядро по идее состоит из $\{0\}$.
А сюръективность и про замыкание образа я не знаю, как проверить. Но ответ такой: оператор не сюръективен, причем замыкание образа совпадает со всем пространством только при $p \not = \infty$.
Помогите, пожалуйста, с решением задачи

[ewert]

nastya2011 в сообщении #662445 писал(а):

норма оператора в этом случае ограничена $1$, но не получается построить пример, доказывающий этот факт.

Тривиально: рассмотрите последовательность функций, носители которых стягиваются к правому концу (в т.ч. и для бесконечного показателя).

nastya2011 в сообщении #662445 писал(а):

А сюръективность и про замыкание образа я не знаю, как проверить. Но ответ такой: оператор не сюръективен

, поскольку обратный очевидно неограничен.

[nastya2011]

ewert в сообщении #662452 писал(а):

nastya2011 в сообщении #662445 писал(а):

норма оператора в этом случае ограничена $1$, но не получается построить пример, доказывающий этот факт.

Тривиально: рассмотрите последовательность функций, носители которых стягиваются к правому концу (в т.ч. и для бесконечного показателя).

nastya2011 в сообщении #662445 писал(а):

А сюръективность и про замыкание образа я не знаю, как проверить. Но ответ такой: оператор не сюръективен

, поскольку обратный очевидно неограничен.

а можете поподробней про "поскольку обратный очевидно неограничен", не особо очевидно

[ewert]

Функция $\frac1t$ не принадлежит ни одному из пространств, и к ней можно сколь угодно приблизиться.

[nastya2011]

ewert в сообщении #662463 писал(а):

Функция $\frac1t$ не принадлежит ни одному из пространств, и к ней можно сколь угодно приблизиться.

каким образом?

[ewert]

Ну рассмотрите в качестве элемента образа тождественную единичку, обнулённую в сколь угодно малой окрестности нуля. Как будет вести себя норма её прообраза при сжатии этой окрестности?...

[nastya2011]

ewert в сообщении #662472 писал(а):

Ну рассмотрите в качестве элемента образа тождественную единичку, обнулённую в сколь угодно малой окрестности нуля. Как будет вести себя норма её прообраза при сжатии этой окрестности?...

ну наверное, не будет изменяться, или я не права?

[ewert]

nastya2011 в сообщении #662499 писал(а):

ну наверное, не будет изменяться, или я не права?

Не правы.

Ладно, будем проще; бог с ними, с Банахами со всякими. Незамкнутость образа следует из того, что константа не принадлежит образу, но может быть сколь угодно точно приближена по интегральной норме вот теми самыми ступеньками, входящими в образ. Плотность же -- из того, что плотным является множество финитных около нуля функций, т.е. тождественно равных нулю в некоторой окрестности нуля, а такие функции в образ опять же входят.

Это если $p\neq+\infty$. Если же $p=+\infty$, то для доказательства неплотности образа (и уж тем более несюръективности) подумайте: можно ли ненулевую константу приблизить элементами образа?... Потом может ещё возникнуть естественный вопрос (которого Вы не приводили): а что, в этом случае образ тоже незамкнут или всё-таки замкнут?... -- Если вдруг возникнет, то присмотритесь, например, к функции $\sqrt{t}$: принадлежит ли она образу?... является ли предельной точкой образа?...

[nastya2011]

"Тривиально: рассмотрите последовательность функций, носители которых стягиваются к правому концу (в т.ч. и для бесконечного показателя)."
это, например, какие? нужна конкретная формула или график,да и мне так сложно представить(
" Незамкнутость образа следует из того, что константа не принадлежит образу, но может быть сколь угодно точно приближена по интегральной норме вот теми самыми ступеньками, входящими в образ."
какими ступеньками? извините, я наверное совсем глупые вопросы задаю :(, но я не понимаю ничего
в ответах сказано, что при $p \not = \infty$ образ будет замкнут :(

[ewert]

nastya2011 в сообщении #662571 писал(а):

в ответах сказано, что при $p \not = \infty$ образ будет замкнут :(

Значит, одно из двух: это были или ответы не на те вопросы, или были неправильные ответы; очевидно.

nastya2011 в сообщении #662571 писал(а):

какими ступеньками?

Теми, о которых я говорил в предыдущем сообщении (ну теперь-то уже два поста назад, конечно).