2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Однородное дифференциальное уравнение.
Сообщение17.12.2012, 14:28 


25/11/11
42
Кострома
Уравнение:
$y' = \frac{x\cdot y^{3}+x^{3}\cdot y-x^{2} \cdot y^2}{x^3 \cdot {(x - y)}}$

Получил общий интеграл:
$\operatorname{Ln}|C_1 \cdot x| = \frac{(2\cdot y - x) \cdot x}{2 \cdot y^2}$
Ну и решение $y = 0$.
Требуется решить задачу Коши $y(0) = 0$.
Подставляя такие начальные данные, получаем неопределенность вида $\frac 0 0 $.
Преподаватель говорит, что каким-то способом надо выяснить, как ведет себя решение в окрестности точки $(0,0)$.
Не знаю, как это сделать. В учебнике Матвеева ничего такого не нашел, в интернете тоже ничего про данную ситуацию не нашел :-(
Помогите, пожалуйста, это последний диффур.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное дифференциальное уравнение.
Сообщение17.12.2012, 14:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
patrickj в сообщении #659691 писал(а):
Ну и решение $y = 0$.
(дальше не читал)
Подставляю решение в диффур - подходит. Подставляю решение в Ваш общий интеграл... ээ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное дифференциальное уравнение.
Сообщение17.12.2012, 15:17 


25/11/11
42
Кострома
ИСН в сообщении #659695 писал(а):
patrickj в сообщении #659691 писал(а):
Ну и решение $y = 0$.
(дальше не читал)
Подставляю решение в диффур - подходит. Подставляю решение в Ваш общий интеграл... ээ...

Знаменатель обращается ноль. Это означает, что общий интеграл найден неверно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное дифференциальное уравнение.
Сообщение17.12.2012, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Я вообще не об этом. Хрен с ним, со знаменателем. Если угодно - сначала умножим обе стороны на знаменатель, и нет больше никаких дробей. И вот теперь подставим y=0... ээ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное дифференциальное уравнение.
Сообщение17.12.2012, 15:26 


25/11/11
42
Кострома
При подстановке $y = 0$ получаем, что $x = 0$. Что такого?

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное дифференциальное уравнение.
Сообщение17.12.2012, 15:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ничего. Я думал, Вы предлагаете это y=0 в качестве решения диффура. Решение диффура - это функция. Функция обычно бывает определена не только при одном-единственном x.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное дифференциальное уравнение.
Сообщение17.12.2012, 15:50 


25/11/11
42
Кострома
Но ведь любое однородное дифференциальное уравнение имеет решение $y(x) = 0$. $x$ - любое из области определения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное дифференциальное уравнение.
Сообщение17.12.2012, 15:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
(Не буду сейчас выяснять, что такое однородное уравнение.)
Да, Ваше уравнение имеет такое решение, я это с самого начала сказал. Значит, подставив его в общий интеграл, мы должны получить верное равенство... а получаем... ээ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное дифференциальное уравнение.
Сообщение17.12.2012, 17:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ИСН в сообщении #659717 писал(а):
Значит, подставив его в общий интеграл, мы должны получить верное равенство...

Да не значит. "Общий интеграл" -- понятие многосмысленное (если не обозвать его ещё хуже двусмысленным). Т.е. если некая формула даёт "все" решения дифура, то это вовсе не означает, что она даёт их буквально все, т.е. даёт множество всех решений.

Последняя ситуация даже в каком-то смысле и нетипична. Ну попробуйте в качестве примера найти "общий интеграл" уравнения $y'=y$. Только честно, тупо попробуйте -- сугубо через разделение переменных, безо всякого такого этого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное дифференциальное уравнение.
Сообщение23.12.2012, 13:15 


25/11/11
42
Кострома
Насколько я знаю, общий интеграл не содержит особые решения.
Ребята, очень серьезный вопрос. Надо исследовать поведение решений около точки $(0,0)$. Подскажите, пожалуйста, с чего начать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное дифференциальное уравнение.
Сообщение23.12.2012, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Я бы сначала попробовал угадать, а потом обосновать. На что похож y в окрестности x=0? Как он стремится к 0? Как $C\cdot x$? Как $C\cdot x^2$? Как $C\cdot x\ln x$? Ещё как-нибудь?
Но какой в этом смысл, если все решения проходят через 0 в 0?

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное дифференциальное уравнение.
Сообщение24.12.2012, 08:27 


25/11/11
42
Кострома
ИСН в сообщении #662444 писал(а):
Но какой в этом смысл, если все решения проходят через 0 в 0?

Откуда это следует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное дифференциальное уравнение.
Сообщение24.12.2012, 08:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Оттуда, что подставив в общий интеграл нулевой x и ненулевой y...
Слушайте, что мы ерундой занимаемся. У Вас y выражается в явном виде. Уродливо, но выражается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное дифференциальное уравнение.
Сообщение24.12.2012, 09:24 


25/11/11
42
Кострома
Точно.
$y = \frac{x \pm \sqrt{x^2-2 \cdot x^2 \cdot \ln|C \cdot x|}}{2 \cdot \ln|C \cdot x|}$
Как сюда подставлять $x = 0$. $\ln(0)..$

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное дифференциальное уравнение.
Сообщение24.12.2012, 10:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Вспоминайте методы нахождения пределов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group