Однородное дифференциальное уравнение.

[patrickj]

Уравнение:
$y' = \frac{x\cdot y^{3}+x^{3}\cdot y-x^{2} \cdot y^2}{x^3 \cdot {(x - y)}}$

Получил общий интеграл:
$\operatorname{Ln}|C_1 \cdot x| = \frac{(2\cdot y - x) \cdot x}{2 \cdot y^2}$
Ну и решение $y = 0$.
Требуется решить задачу Коши $y(0) = 0$.
Подставляя такие начальные данные, получаем неопределенность вида $\frac 0 0 $.
Преподаватель говорит, что каким-то способом надо выяснить, как ведет себя решение в окрестности точки $(0,0)$.
Не знаю, как это сделать. В учебнике Матвеева ничего такого не нашел, в интернете тоже ничего про данную ситуацию не нашел
Помогите, пожалуйста, это последний диффур.

[ИСН]

patrickj в сообщении #659691 писал(а):

Ну и решение $y = 0$.

(дальше не читал)
Подставляю решение в диффур - подходит. Подставляю решение в Ваш общий интеграл... ээ...

[patrickj]

ИСН в сообщении #659695 писал(а):

patrickj в сообщении #659691 писал(а):

Ну и решение $y = 0$.

(дальше не читал)
Подставляю решение в диффур - подходит. Подставляю решение в Ваш общий интеграл... ээ...

Знаменатель обращается ноль. Это означает, что общий интеграл найден неверно?

[ИСН]

Я вообще не об этом. Хрен с ним, со знаменателем. Если угодно - сначала умножим обе стороны на знаменатель, и нет больше никаких дробей. И вот теперь подставим y=0... ээ...

[patrickj]

При подстановке $y = 0$ получаем, что $x = 0$. Что такого?

[ИСН]

Ничего. Я думал, Вы предлагаете это y=0 в качестве решения диффура. Решение диффура - это функция. Функция обычно бывает определена не только при одном-единственном x.

[patrickj]

Но ведь любое однородное дифференциальное уравнение имеет решение $y(x) = 0$. $x$ - любое из области определения.

[ИСН]

(Не буду сейчас выяснять, что такое однородное уравнение.)
Да, Ваше уравнение имеет такое решение, я это с самого начала сказал. Значит, подставив его в общий интеграл, мы должны получить верное равенство... а получаем... ээ...

[ewert]

ИСН в сообщении #659717 писал(а):

Значит, подставив его в общий интеграл, мы должны получить верное равенство...

Да не значит. "Общий интеграл" -- понятие многосмысленное (если не обозвать его ещё хуже двусмысленным). Т.е. если некая формула даёт "все" решения дифура, то это вовсе не означает, что она даёт их буквально все, т.е. даёт множество всех решений.

Последняя ситуация даже в каком-то смысле и нетипична. Ну попробуйте в качестве примера найти "общий интеграл" уравнения $y'=y$. Только честно, тупо попробуйте -- сугубо через разделение переменных, безо всякого такого этого.

[patrickj]

Насколько я знаю, общий интеграл не содержит особые решения.
Ребята, очень серьезный вопрос. Надо исследовать поведение решений около точки $(0,0)$. Подскажите, пожалуйста, с чего начать?

[ИСН]

Я бы сначала попробовал угадать, а потом обосновать. На что похож y в окрестности x=0? Как он стремится к 0? Как $C\cdot x$? Как $C\cdot x^2$? Как $C\cdot x\ln x$? Ещё как-нибудь?
Но какой в этом смысл, если все решения проходят через 0 в 0?

[patrickj]

ИСН в сообщении #662444 писал(а):

Но какой в этом смысл, если все решения проходят через 0 в 0?

Откуда это следует?

[ИСН]

Оттуда, что подставив в общий интеграл нулевой x и ненулевой y...
Слушайте, что мы ерундой занимаемся. У Вас y выражается в явном виде. Уродливо, но выражается.

[patrickj]

Точно.
$y = \frac{x \pm \sqrt{x^2-2 \cdot x^2 \cdot \ln|C \cdot x|}}{2 \cdot \ln|C \cdot x|}$
Как сюда подставлять $x = 0$. $\ln(0)..$

[ИСН]

Вспоминайте методы нахождения пределов.