Теория управления. Получение передаточной функции

[fro0m]

Есть массив значений входного сигнала и массив значение выходного сигнала. Нулевые начальные условия.
Подскажите пожалуйста методы (численные или аналитический) чтобы восстановить ПФ системы.

[profrotter]

Система дискретная?

[Robomaster90]

Данные вопросы построения математической модели(в данном случае передаточной функции(ПФ)) изучает идентификация систем. Если у вас в переходной характеристике(ПХ), построенной по экспериментальным данным(массив), присутствует перерегулирование, то объект описывается ПФ
$W(p)=\frac{K}{T_2p^2+T_1p+1}$,
где $T_2,T_1$-постоянные времени,причем $T_1$ можно приближенно определить из времени переходного процесса, деленного на число между 4 и 5 и то это будет работать для слабоколебательных процессов, $K$ можно определить из конечного значения переходной характеристики, деленного на значение управляющего сигнала.Если у вас отсутствует перерегулирование, то передаточную функцию можно определить в виде
$W(p)=\frac{K}{T_1p+1}$,
либо
$W(p)=\frac{K}{(T_2p+1)(T_1p+1)}$,
где последний отличается от первого изгибом на начальном учас тке временной характеристики.$T$ и $K$ находятся аналогично. Данный метод прост, но неточен. Поэтому существуют методы идентификации как МНК,взвешенный МНК, обобщенный МНК и еще другие его модификации, лучше МНК пока не придумано, если брать за основу квадратичный критерий близости полученной ПХ по ПФ и исходную ПХ.
Советую почитать:
Л.Льюнг. Идентификация систем:теория для пользователя, 1991 г. (must-read для всех специалистов по идентификации).
Д.Гроп. Идентификация систем, 1979 г.
П.Эйкхофф. Основы идентификации, 1980 г.

P.S. Методы МНК, что я назвал относятся к параметрической идентификации и применимы, когда нам известны порядок числителя и знаменателя-иначе получается задача структурной идентификации и тут все завязано на угадай порядок системы, короче какие то интуитивные соображения.

[fro0m]

Robomaster90 в сообщении #661303 писал(а):

....
Советую почитать:
Л.Льюнг. Идентификация систем:теория для пользователя, 1991 г. (must-read для всех специалистов по идентификации).
Д.Гроп. Идентификация систем, 1979 г.
П.Эйкхофф. Основы идентификации, 1980 г.

P.S. Методы МНК, что я назвал относятся к параметрической идентификации и применимы, когда нам известны порядок числителя и знаменателя-иначе получается задача структурной идентификации и тут все завязано на угадай порядок системы, короче какие то интуитивные соображения.

Огромное спасибо за советы.

Система непрерывная, но считывать значения сигнала будем при помощи микроконтроллера, т.е. у нас будут сформированы массивы значений с шагом.
Интересно то, что в принципе система может быть любого порядка. Но в силу незначительности быстро затухающих ПП, полученная ПФ может быть упрощена.
Если есть еще советы, то делитесь=)

[fro0m]

Л.Льюнг. Идентификация систем:теория для пользователя, 1991 г.
это слишком суровая книга, там матан безумный. Надо знать кучу разделов высшей математики, чтобы разобраться......

[profrotter]

Шажок дискретизации надо взять как можно меньше. По полученным массивам найдёте спектры дискретных сигналов на входе и на выходе. Зная спектры найдёте частотную характеристику системы. Оставите от неё только один период. Перейдёте к логарифмическим частотным характеристиками и аппроксимируете фрагментами прямых как это обычно и делают, после чего сделаете вывод о приблизительно эквивалентной структуре системы.

[Robomaster90]

Идея про получение структуры ПФ на основе ЛЧХ вполне подойдет к вашей задаче. Такой подход изложен хорошо в книге: Бессекерский, Попов. Теория систем автоматического управления. 2003 г.

[Alex1991u]

Может это будет полезно: В университете мы изучали оптимизацию в MatLab'e. Одна из задач, что мы решали:
"Аппроксимация колебательного звена с передаточной функцией $W(p)=3/(3p^2+3p+1)$ апериодическим $W(p)=k/(Tp+1)$ . Критерий: минимум среднеквадратичного отклонения выходных сигналов. Факторы: k, T. Модели обоих звеньев реализованы в Simulink. Время счета – не менее 20. Использовать функцию fminsearch."
Так вот, если взять ваш массив выходных данных как за исходный и аппроксимировать его массивом выходных данных передаточной функции (например $W(p)=k/(Tp+1)$ или 2-го порядка, как описал Robomaster90), которая реализована в Simulink, где k, T - факторы, которые будет оптимизировать функция fminsearch например по критерию "минимум среднеквадратичного отклонения" между вашим выходным массивом и тем массивом что в Simulink. В итоге вы получите нужную вам передаточную функцию
Если понадобится могу скинуть пример решения этой задачи. Не могу его найти сейчас

[fro0m]

profrotter в сообщении #662253 писал(а):

Шажок дискретизации надо взять как можно меньше. По полученным массивам найдёте спектры дискретных сигналов на входе и на выходе. Зная спектры найдёте частотную характеристику системы. Оставите от неё только один период. Перейдёте к логарифмическим частотным характеристиками и аппроксимируете фрагментами прямых как это обычно и делают, после чего сделаете вывод о приблизительно эквивалентной структуре системы.

а каким образом по полученным массивам получить частотную характеристику??

[profrotter]

По полученным массивам можно приблизительно найти спектральные плотности сигналов на входе и выходе. А частотную характеристику найти как отношение спектральной плотности сигнала на выходе к спектральной плотности сигнала на входе.

Тут хорошие советы вам дают. Если есть возможность выбирать какой именно сигнал подавать на вход, то подавая тот же гармонический сигнал Вы сможете изменять его частоту и найти частотную характеристику, либо подавать единичный скачок и получать переходную характеристику системы, а потом уже смотреть какая система может обладать полученными характеристиками.

[fro0m]

profrotter в сообщении #663146 писал(а):

По полученным массивам можно приблизительно найти спектральные плотности сигналов на входе и выходе. А частотную характеристику найти как отношение спектральной плотности сигнала на выходе к спектральной плотности сигнала на входе.

Тут хорошие советы вам дают. Если есть возможность выбирать какой именно сигнал подавать на вход, то подавая тот же гармонический сигнал Вы сможете изменять его частоту и найти частотную характеристику, либо подавать единичный скачок и получать переходную характеристику системы, а потом уже смотреть какая система может обладать полученными характеристиками.

подскажите пожалуйста:
-Вот по значениям сигнала должен найти его спектр (в каких пределах по частоте делать лискретное преобразование фурье, сигнал апериодический??)
-После получения спектра, перейти в ПФ (Построить спектр в логарифмическом масштабе, а потом апроксимировать ЛАХ?)
Перечитал кучу всего но вот эти 2 момента остались недопонятыми.

[profrotter]

fro0m в сообщении #663682 писал(а):

в каких пределах по частоте делать лискретное преобразование фурье, сигнал апериодический??)

Один период спектра дискретного сигнала.

fro0m в сообщении #663682 писал(а):

После получения спектра

profrotter в сообщении #663146 писал(а):

частотную характеристику найти как отношение спектральной плотности сигнала на выходе к спектральной плотности сигнала на входе.

fro0m в сообщении #663682 писал(а):

После получения спектра, перейти в ПФ (Построить спектр в логарифмическом масштабе, а потом апроксимировать ЛАХ?)

Robomaster90 в сообщении #662282 писал(а):

Идея про получение структуры ПФ на основе ЛЧХ вполне подойдет к вашей задаче. Такой подход изложен хорошо в книге: Бессекерский, Попов. Теория систем автоматического управления. 2003 г.

-- Вт дек 25, 2012 22:31:10 --

post491103.html#p491103

-- Вт дек 25, 2012 22:32:19 --

topic43711.html

-- Вт дек 25, 2012 22:34:54 --

post543765.html#p543765

[fro0m]

Один период спектра сигнала? Но у апериодического сигнала период T=\infty
Я не совсем понимаю, что означает период спектра.
Например на вход я подаю ступеньку на выходе получаю апериодический сигнал с установившемся значением.
Спектр ступеньки есть $S(\omega)=\frac{1}{j\cdot\omega}$
А спектр выходного сигнала представляет собой апериодический сигнал амплитуда которого после какого то времени $A(t>t_p)=constant$
Тогда рессматривать период сигнала до момента времени $t_p$?

[profrotter]

fro0m, определитесь уже: Вы можете выбирать вид сигнала, который будете подавать на вход или не можете? Если можете, то тупо снимите частотные и временные характеристики и смотрите какой системе они соответствуют. Там выше писали рекомендации и литературу.

fro0m всообщении #663817 писал(а):

Я не совсем понимаю, что означает период спектра.

Для того, чтобы понять, что спектр дискретного сигнала периодический приведено достаточно ссылок на форум. Читайте. Вы же переходите к дискретным сигналам - есть же массив, соответствующий входному сигналу и выходному. Значит можете определить спектр дискретного сигнала (входного и выходного). А он периодический по частоте. А один период спектра дискретного сигнала приблизительно (при маленьких-маленьких шагах дискретизации) соответствует спектру аналогового сигнала. По одной из ссылок даже картинка есть для случая сигнала с ограниченным спектром.

-- Ср дек 26, 2012 08:26:51 --

Кстати, у ступеньки не такой спектр.

[fro0m]

profrotter в сообщении #663892 писал(а):

fro0m, определитесь уже: Вы можете выбирать вид сигнала, который будете подавать на вход или не можете? Если можете, то тупо снимите частотные и временные характеристики и смотрите какой системе они соответствуют. Там выше писали рекомендации и литературу.

fro0m всообщении #663817 писал(а):

Я не совсем понимаю, что означает период спектра.

Для того, чтобы понять, что спектр дискретного сигнала периодический приведено достаточно ссылок на форум. Читайте. Вы же переходите к дискретным сигналам - есть же массив, соответствующий входному сигналу и выходному. Значит можете определить спектр дискретного сигнала (входного и выходного). А он периодический по частоте. А один период спектра дискретного сигнала приблизительно (при маленьких-маленьких шагах дискретизации) соответствует спектру аналогового сигнала. По одной из ссылок даже картинка есть для случая сигнала с ограниченным спектром.

-- Ср дек 26, 2012 08:26:51 --

Кстати, у ступеньки не такой спектр.

Приближенно такой спектр у единичной ступенчатой функции (Гроп,идентификация систем), что то я не нашел объяснения почему спектр периодический, хотя убедился что он действительно периодический.
В каких пределах численно интегрировать функцию, для определения спектра? нигда не нашел!