Равенство определителей матрицы и союзной матрицы

[darklagger]

ewert в сообщении #662104 писал(а):

darklagger в сообщении #662098 писал(а):

Произведению элементов диагонали

Замечательно. Ну и чему равно то произведение в данном конкретном случае?... И кстати (это уже про левую часть): а чему вообще всегда равен определитель произведения матриц?...

Определитель произведения матриц равен произведению определителей.

А вот чему равно произведение в конкретном случае, я не понимаю. Произведению главной диагонали?
a11*a22*...*ann?

[ewert]

Да на диагонали-то что стоит (ну или стоят, что в данном конкретном случае эквивалентно) -- что конкретно?...

[darklagger]

ewert в сообщении #662114 писал(а):

Да на диагонали-то что стоит (ну или стоят, что в данном конкретном случае эквивалентно) -- что конкретно?...

Произведение элемента матрицы A на алгебраическое дополнение?

[ewert]

darklagger в сообщении #662119 писал(а):

Произведение элемента матрицы A на алгебраическое дополнение?

"Официант:
-- Чай, кофе?...
-- Чай, пожалуйста.
-- Не угадали..."
(с)

Не об этом был вопрос, а об том, чему в принципе равен детерминант вообще любой диагональной матрицы. И уже потом, потом -- что конкретно следует из этого для данного конкретного случая.

[darklagger]

ewert в сообщении #662128 писал(а):

darklagger в сообщении #662119 писал(а):

Произведение элемента матрицы A на алгебраическое дополнение?

"Официант:
-- Чай, кофе?...
-- Чай, пожалуйста.
-- Не угадали..."
(с)

Не об этом был вопрос, а об том, чему в принципе равен детерминант вообще любой диагональной матрицы. И уже потом, потом -- что конкретно следует из этого для данного конкретного случая.

На диагонали стоит определитель матрицы $A$?

[ewert]

darklagger в сообщении #662129 писал(а):

На диагонали стоит определитель матрицы A?

Да. Ну так и трепещите же, наконец.

[darklagger]

ewert в сообщении #662135 писал(а):

darklagger в сообщении #662129 писал(а):

На диагонали стоит определитель матрицы A?

Да. Ну так и трепещите же, наконец.

Но я всё ещё не понял, как это доказывает равенство? Я так понял, что
$A\cdot C$ = $|A|\cdot E$ Матрица $E$ имеет размер $n$, значит $|A\cdot C|$ = $|A|^n$?

-- 22.12.2012, 23:48 --

darklagger в сообщении #662141 писал(а):

Но я всё ещё не понял, как это доказывает равенство? Я так понял, что
$A\cdot C$ = $|A|\cdot E$ Матрица $E$ имеет размер $n$, значит $|A\cdot C|$ = $|A|^n$?

Это понял, спасибо
Вы не могли бы посмотреть моё доказательство и оценить его?
Доказательство:
Рассмотрим произведение $Z = A \cdot C$:

$z_{ij}=a_{i1}C_{j1}+a_{i2}C{j2}+...+a_{in}C_{jn}$
Если $i \ne j$, то выражение $z_{ij}=a_{i1}C_{j1}+a_{i2}C_{j2}+...+a_{in}C_{jn}$ представляет собой сумму произведений $i$-й строки матрицы $A$ на алгебраические дополнения элементов другой строки. Согласно следствию 2 из теоремы Лапласа, оно равно нулю. Следовательно, все элементы матрицы $Z$ , находящейся вне главной диагонали, равны нулю, т.е. матрица $Z$ является диагональной $\Rightarrow$
$A\cdot C$ = $|A|\cdot E$ $\Rightarrow$
$|A\cdot C|$ = $|A|^n$ $\Rightarrow$
$|A| \cdot |C|$ = $|A| \cdot |A|^{n-1}$ $\Rightarrow$
$|C|$ = $|A|^{n-1}$