Равенство определителей матрицы и союзной матрицы

[darklagger]

Здравствуйте, есть такая задача:
$A$ - квадратная матрица $n\cdot n$. $C$ - союзная (присоединённая) к ней матрица. Верно ли, что $|C|=|A|^{n-1}$?

Вот моё решение:
Пусть $n=2k+1$, $k \in N$ $\Rightarrow |C|=|A|^{2k}$, $|C|\geqslant 0$, но всегда можно найти такую квадратную матрицу $A$ порядка $2k+1$ с союзной матрицей $C$, что $|C|<0$.
Ответ: Нет.

Но я никак не могу найти такую матрицу, что бы равенство не выполнялось, поэтому я думаю, что я ошибся с доказательством. Подскажите пожалуйста, где я мог ошибиться?

[nnosipov]

darklagger в сообщении #661952 писал(а):

но всегда можно найти такую квадратную матрицу $A$ порядка $2k+1$ с союзной матрицей $C$, что $|C|<0$.

А Вы попробуйте найти.

[darklagger]

nnosipov в сообщении #661957 писал(а):

darklagger в сообщении #661952 писал(а):

но всегда можно найти такую квадратную матрицу $A$ порядка $2k+1$ с союзной матрицей $C$, что $|C|<0$.

А Вы попробуйте найти.

Я пробовал, не получилось

-- 22.12.2012, 19:22 --

Немного посчитав, понял, что $|C|$ $=$ $|A|^{n-1}$.
Вот только как это теперь доказать я понятия не имею.

[nnosipov]

darklagger в сообщении #661959 писал(а):

Я пробовал, не получилось

А, может быть, такой матрицы просто нет? И равенство $|C|=|A|^{n-1}$ всё же верно?

-- Сб дек 22, 2012 22:26:30 --

darklagger в сообщении #661959 писал(а):

Вот только как это теперь доказать я понятия не имею.

Попробуйте найти произведение $AC$.

[ewert]

Зачем чего-то искать, да ещё и зачем-то нечётно. Просто вспомните, чему равно произведение исходной матрицы на союзную (ну или, в зависимости от определения союзной -- на транспонированную к ней, в данном случае это неважно) -- и чему соответственно равен определитель этого произведения.

[darklagger]

nnosipov в сообщении #661972 писал(а):

darklagger в сообщении #661959 писал(а):

Я пробовал, не получилось

А, может быть, такой матрицы просто нет? И равенство $|C|=|A|^{n-1}$ всё же верно?

-- Сб дек 22, 2012 22:26:30 --

darklagger в сообщении #661959 писал(а):

Вот только как это теперь доказать я понятия не имею.

Попробуйте найти произведение $AC$.

Но как я найду произведение, если их размерность равна $n$?
Нужно вместо $n$ подставить какое-то число и взять произвольную матрицу с такой размерностью?

[nnosipov]

darklagger в сообщении #661979 писал(а):

Нужно вместо $n$ подставить какое-то число и взять произвольную матрицу с такой размерностью?

Нет, лучше вспомнить некоторые факты из теории определителей. Например, что такое разложение определителя по строке (столбцу).

[darklagger]

ewert в сообщении #661976 писал(а):

Зачем чего-то искать, да ещё и зачем-то нечётно. Просто вспомните, чему равно произведение исходной матрицы на союзную (ну или, в зависимости от определения союзной -- на транспонированную к ней, в данном случае это неважно) -- и чему соответственно равен определитель этого произведения.

Что-то я такого не припоминаю. Случайно не единичной матрице?

[ewert]

darklagger в сообщении #661983 писал(а):

Что-то я такого не припоминаю. Случайно не единичной матрице?

Случайно не совсем, хотя и близко.

Вы не имеете права этого не припоминать. Ведь и сама союзная матрица вводится только ради этого соотношения.

[darklagger]

nnosipov в сообщении #661982 писал(а):

darklagger в сообщении #661979 писал(а):

Нужно вместо $n$ подставить какое-то число и взять произвольную матрицу с такой размерностью?

Нет, лучше вспомнить некоторые факты из теории определителей. Например, что такое разложение определителя по строке (столбцу).

Что такое разложение по строке(столбцу) я знаю, но не совсем понимаю, как это должно помочь

[ewert]

Не надо разложений. Союзная матрица как таковая вводится специально для того, чтобы выразить через неё обратную. Вспомните эту формулу -- и сделайте выводы.

[darklagger]

ewert в сообщении #661989 писал(а):

Не надо разложений. Союзная матрица как таковая вводится специально для того, чтобы выразить через неё обратную. Вспомните эту формулу -- и сделайте выводы.

$A^{-1}$ $=$ $\frac{1}{|A|}\cdot |A|^T$, где $|A|^T$ - транспонированная матрица алгебраических дополнений. Эта формула?

-- 22.12.2012, 20:04 --

Произведение исходной матрицы на союзную - это диагональная матрица, вот только что это значит?

[ewert]

darklagger в сообщении #661998 писал(а):

Эта формула?

Эта, разве что чёрточки справа в ней совершенно неуместны. В приличном обществе принято писать ${\widetilde A}^T$, ну или хоть $C^T$ в Ваших прежних обозначениях.

darklagger в сообщении #661998 писал(а):

это диагональная матрица, вот только что это значит?

Ну а чему равен определитель диагональной матрицы -- как Вы думаете?...

[darklagger]

darklagger в сообщении #661998 писал(а):

это диагональная матрица, вот только что это значит?

Ну а чему равен определитель диагональной матрицы -- как Вы думаете?...
Произведению элементов диагонали

[ewert]

darklagger в сообщении #662098 писал(а):

Произведению элементов диагонали

Замечательно. Ну и чему равно то произведение в данном конкретном случае?... И кстати (это уже про левую часть): а чему вообще всегда равен определитель произведения матриц?...