Центральный эллипсоид инерции

[pika]

Задача следующая: покажите, что центральный эллипсоид инерции твердого тела имеет наибольший объем, под центральным подразумевается, что эллипсоид инерции построен в центре масс.

Мои попытки:
1. Пусть тензор инерции для центра масс в базисе $Oxyz$ имеет вид
$\begin{bmatrix} A & 0 & 0 \\ 0 & B & 0 \\ 0 & 0 & C \end{bmatrix}$
2. Рассмотрим произвольную точку $M(a,b,c)$
Тензор инерции для этой точки в базисе полученном параллельном переносом базиса $Oxyz$

$\begin{bmatrix} A + m(b^2 + c^2) & -mab & -mac \\ -mab & B + m(a^2 + c^2) & -mbc \\ -mac & -mbc & C + m(a^2 + b^2) \end{bmatrix}$

3. Теперь наверное надо бы посчитать объем нового эллипсоида, но как?
P.S. эллипсоид инерции - множество точек, удовлетворяющих уравнению $ r^TIr=1 $, где $I$ - тензор инерции.

P.S.S. возможно мой подход в принципе не правильный, слишком прямолинеен, т.к. чтобы найти объем эллипсоида следует найти главные полуоси, что в общем виде не самое простое занятие

[pika]

Появилась новая идея, в точке пересечения главной оси и эллипсоида, нормаль к эллипсоиду инерции и радиус вектор этой точки будут коллинеарны, тогда возникает условие:

$\operatorname{grad}(f(x,y,z)) = \lambda \vector{R}$, где $f(x,y,z) = I_xx^2 + I_yy^2 + I_zz^2 - 2I_{xy}xy - 2I_{xz}xz - 2I_{yz}yz$
Получим систему из 3-х уравнений и 4-я неизвестными: $x,y,z,\lambda$.
Как думаете стоит так попробовать? Просто нет времени проделывать все на бумаге, а задача весьма интересная

[Munin]

Теорему Штейнера знаете?

[pika]

Munin в сообщении #661248 писал(а):

Теорему Штейнера знаете?

Знаю

[Munin]

Добавка, которую она даёт к тензору инерции:
- всегда положительная?
- всегда отрицательная?
- разных знаков?

[pika]

Munin в сообщении #661316 писал(а):

Добавка, которую она даёт к тензору инерции:
- всегда положительная?
- всегда отрицательная?
- разных знаков?

Добавка положительная, но это добавка не к тензору инерции, а к моменту инерции

[Munin]

Та-а-ак. А теорему Штейнера для тензора инерции вы знаете? Впрочем достаточно ввести систему координат, в которой ось смещена вдоль одной оси координат, а направлена вдоль другой оси координат...

[pika]

Munin в сообщении #661377 писал(а):

Та-а-ак. А теорему Штейнера для тензора инерции вы знаете? Впрочем достаточно ввести систему координат, в которой ось смещена вдоль одной оси координат, а направлена вдоль другой оси координат...

Да. Знаю, посмотрите на мое первое сообщение, второй тензор фактически получен из первого параллельным переносом базиса в произвольную точку

[Munin]

Итак. Вы имеете тензор и положительную к нему добавку. Теперь надо выяснить, что при этом происходит с объёмом внутри поверхности $r^{\mathrm{T}}Ir=1.$ У меня такое впечатление, что можно доказать, что все точки новой поверхности лежат внутри старой поверхности, или что все точки старой поверхности лежат снаружи новой (или совпадают, поскольку неравенство у нас нестрогое). Как вы думаете?

[pika]

Munin в сообщении #661691 писал(а):

Итак. Вы имеете тензор и положительную к нему добавку.

На самом деле добавка положительна только к элементам главной диагонали тензора, добавка к другим элементам тензора определяется координатами точки.

Munin в сообщении #661691 писал(а):

У меня такое впечатление, что можно доказать, что все точки новой поверхности лежат внутри старой поверхности, или что все точки старой поверхности лежат снаружи новой (или совпадают, поскольку неравенство у нас нестрогое). Как вы думаете?

Ориентация новой поверхности поменяется, ее объем может быть меньше, но какая-нибудь ее точка может быть вне старой поверхности. Это может произойти если самая большая полуось новой поверхности больше самой маленькой полуоси старой.

-- Сб дек 22, 2012 19:02:17 --

Сегодня вечером я попробую проделать то, что написал во втором сообщении. Надо показать что при любой не нулевом $\lambda$ объем новой поверхности будет меньше старой, может что-то выйдет путнее

[Munin]

pika в сообщении #661839 писал(а):

На самом деле добавка положительна только к элементам главной диагонали тензора, добавка к другим элементам тензора определяется координатами точки.

Я не про элементы. Я про тензор в целом. Точнее, разумеется, про его квадратичную форму. Возиться с элементами негигиенично, когда можно посмотреть на ситуацию в целом.

pika в сообщении #661839 писал(а):

Ориентация новой поверхности поменяется, ее объем может быть меньше, но какая-нибудь ее точка может быть вне старой поверхности.

А вы проверьте.

-- 22.12.2012 15:23:23 --

Подсказка. Используйте тот факт, что добавка положительная.

[pika]

Munin в сообщении #661843 писал(а):

Подсказка. Используйте тот факт, что добавка положительная.

Эх, я получил, что добавка вовсе не положительна, она даже не отрицательна. Определитель самой добавки равен нулю.

[Munin]

А какая разница, какой определитель? Разве определитель нам указ? А ну-ка, какой определитель бывает у неотрицательно определённой квадратичной формы?

[pika]

Munin в сообщении #662139 писал(а):

А какая разница, какой определитель? Разве определитель нам указ? А ну-ка, какой определитель бывает у неотрицательно определённой квадратичной формы?

Главные миноры неотрицательны, но это в обратную сторону не работает, как мне помнится с первого курса

[Munin]

Ну давайте приведём неотрицательно определённую квадратичную форму к диагональному виду. Какой у неё будет определитель?