Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел

[Droog_Andrey]

vicvolf в сообщении #629475 писал(а):

А что Вы понимаете под "дырками"?

Очевидно, наборы составных чисел между последовательными простыми $p$ и $p+2r$.

[vicvolf]

Droog_Andrey писал(а):

Очевидно, наборы составных чисел между последовательными простыми $p$ и $p+2r$.

Т.е. разрывы между простыми числами. Ну это частный случай кортежа из одного числа. В статье же рассматриваются кортежи из k-чисел. Как я понимаю составные кортежи, наподобие которых рассматривал я в последнем сообщении.

[Droog_Andrey]

В статье по ссылке, о которой Вы спросили, рассматриваются именно

vicvolf в сообщении #629632 писал(а):

разрывы между простыми числами

[vicvolf]

Да, но маленькие разрывы между парами простых чисел $p, p+2r$, где r<40 по гипотезе Харди-Литлвуда, т.е рассматривется кортежи из 2-х чисел, поэтому формула является частным случаем, рассмотренной мною выше.

[vicvolf]

Droog_Andrey в сообщении #617678 писал(а):

Так же, как для количества простых используется аппроксимация Римана

$$R(x) = 1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln^n x}{n! n \zeta(n+1)}$$

для количества $k$-tuplets определённого вида можно использовать

$$R_k(x) = 1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln^n x}{(n+k-1)! n \zeta(n+1)}$$

умноженную на соответствующую константу Харди-Литлвуда: http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html
Они рассчитываются согласно http://primes.utm.edu/glossary/xpage/Di ... cture.html
Разумеется, $R_k(x) \sim \int\limits_2^x\frac{dt}{\ln^k t}$, однако $R_k(x)$ лучше работает для небольших $x$.

Не встречали Вы другие работы на данную тему?

[Droog_Andrey]

Встречал, надо искать.

[vicvolf]

shwedka в сообщении #617911 писал(а):

vicvolf в сообщении #617411 писал(а):

последовательность вычетов ПСВ(m) превращается в последовательность простых чисел. Поэтому, в этом случае, асимптотические оценки на бесконечности справедливы для последовательности простых чисел.

Вот это утверждение нужно четко сформулировать и доказать.
Слово 'превращается' математического смысла не имеет

В сообщении от 27.09.2012 этой темы в формуле (6) приведена оценка асимптотической плотности К-кортежей в ПСВ(m). В новой теме "Плотность числовой последовательности" я сделал пояснение к переходу в асимптотической плотности от последовательности ПСВ(m) к простым числам. Приведу его здесь.
Рассмотрим асимптотическую плотность К-кортежей ПСВm f(n) в натуральном ряде.
Зафиксируем значение x $(1<x\leq m)$. Будем неограниченно увеличивать $p_r$ ($p_r$ стремится к бесконечности). При этом $m=2 \cdot 3...p_r$ также стремится к бесконечности. Когда $p^2_{r+1}\geq x$, то все вычеты ПСВm -$p_i<x$ будут простыми числами. Поэтому плотность К-кортежей ПСВm в натуральном ряде будет совпадать с плотностью простых К-кортежей в натуральном ряде - $P(f,2,x)\sim C / \ln^k(x)$.
Пропуск чисел от 1 до $p_r$ в ПСВm не влияет на асимптотичесую плотность. Дело в том, что один конец отрезка $p^2_{r+1}$ растет как квадрат, а другой конец - $p_{r+1}$ растет как линейная функция, поэтому предел отношения длин отрезков $[1,p_r]$ и $[p_{r+1}, p^2_{r+1})$ стремится к 0 при стремлении $p_r$ к бесконечности. Соответственно это справедливо для соотношения между количеством простых чисел на данных отрезках, поэтому количеством простых чисел на отрезке $[1,p_r$] - r можно пренебречь, хотя оно и стремится к бесконечности.

[vicvolf]

Я возвращаюсь к рассмотрению данной темы, уточнив ряд вопросов в теме "Плотность числовой последовательности". Публикацию темы начну сначала, так что тем, кто ее ранее не читал, можно начать чтение темы с данного сообщения.

В данной теме я рассматриваю вопросы нахождения асимптотического поведения для плотности и количества простых k-кортежей в натуральном ряде чисел. В дальнейшем буду называть это проще - асимтотическая плотность и количесто простых k-кортежей. Под простым k-кортежем понимается последовательно расположенные k простых чисел с определенным расстоянием между ними в натуральном ряде , если k>1 (для k=1 кортеж - это одно простое число).
Обоначать такие кортежи буду в скобках, с указанием соответствющего расстояния между числами. Например, (2,4,6) - это кортеж из четырех чисел: $p_1,p_2,p_3,p_4$, где $p_2-p_1=2,p_3-p_2=4,p_4-p_3=6$. Естественно для k=1 расстояния не указываются - ().
Для k=1, кортеж () - это асимтотическая плотность и количество простых чисел в натуральном ряде, которые известны и доказаны (асимптотический закон распределения простых чисел). Для k=2, кортеж (2) - это асимтотическая плотность и количество простых близнецов в натуральном ряде, в отношении которых имеются только гипотезы (в частности Харди-Литлвуда). Для асимптотической плотности и количества простых кортежей с k>2 также кроме гипотез (в частности Диксона) ничего нет. Поэтому целью данной работы является вывод (доказательство) формул для определения асимптотической плотности и количества простых k-кортежей в натуральном ряде чисел.
Рассмотрение указанного вопроса начну с определения асимптотической плотности и количества k-кортежей в приведенной системе вычетов (ПСВ)по модулю $m=2 \cdot 3... p_r$, где $p_r$ r-ое простое число.
Обозначим:
$N_k(x)$ - количество k-кортежей в ПСВ по модулю m на интервале натурального ряда от 1 до x;
$P_k(x)$ - плотность k-кортежей в ПСВ по модулю m на интервале натурального ряда от 1 до x.
Тогда средняя плотность k-кортежей в ПСВ по модулю m на интервале натурального ряда от 1 до m:
$P_k(m)=N_k(m)/m$. (1)
Периодически продолжим ПСВ по модулю m с периодом m (ПСВm).
Для ПСВm справедливо утверждение, которое мы доказали вместе с Sonic86. Утверждение доказывается очень просто, но имеет важное значение.

Утверждение 1
Асимптотическая плотность k-кортежей ПСВm в натуральном ряде равна средней плотности k-кортежей в ПСВ на интервале натурального ряда от 1 до m, т.е. $\lim \limits_{x \to \infty} {P_k(x)}=\frac {N_k(m)} {m}.$ (2)

Доказательство
На интервале от 1 до x ПСВm будет $[xN_k(m)/m] +r$ k-кортежей, где $0 \leq r < m$ - ограничена.
Тогда асимптотическая плотность k-кортежей ПСВm в натуральном ряде равна:
$lim \limits_{x \to \infty} {P_k(x)}=lim \limits_{x \to \infty} {\frac {[xN_k(m)/m] +r} {x} }=\frac {N_k(m)} {m}$ ч.т.д.

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

Сначала отвечу на почтовое сообщение.
Ссылки на гипотезы приведены в этом сообщении.

Droog_Andrey в сообщении #617678 писал(а):

Так же, как для количества простых используется аппроксимация Римана

$$R(x) = 1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln^n x}{n! n \zeta(n+1)}$$

для количества $k$-tuplets определённого вида можно использовать

$$R_k(x) = 1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln^n x}{(n+k-1)! n \zeta(n+1)}$$

умноженную на соответствующую константу Харди-Литлвуда: http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html
Они рассчитываются согласно http://primes.utm.edu/glossary/xpage/Di ... cture.html
Разумеется, $R_k(x) \sim \int\limits_2^x\frac{dt}{\ln^k t}$, однако $R_k(x)$ лучше работает для небольших $x$.

Определение асимптотической плотности в общем виде дано в сообщении от 01.12.2012 в теме "Плотность числовой последовательности". В данном случае под асимптотической плотностью k-кортежей ПСВm в натуральном ряде понимается:
$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {N_k(x)} {x} }$.
В утверждении 1 интервал натурального ряда от 1 до x разбит на подинтервалы длиной m и последний длиной r<m, поэтому благодаря периодичности ПСВm, получаем:
$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {N_k(x)} {x} }=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {[xN_k(m)/m]+r} {x}}$ и.т.д.

Теперь продолжу.
Поскольку асимптотическая плотность k-кортежей ПСВm равна средней плотности ПСВ по модулю m, то рассмотрим среднюю плотность более подробно.
Зафиксируем значение x ($1\leq x \leq m$). Будем неограниченно увеличивать $p_r$ ($p_r$ стремится к бесконечности). При этом $m=2 \cdot 3... p_r$ также стремится к бесконечности. Когда $p^2_{r+1} \geq x$, то все вычеты ПСВ - $p_i<x$ будут простыми числами. Поэтому плотность -кортежей ПСВ станет совпадать с плотностью простых k-кортежей в натуральном ряде.
Пропуск чисел от 1 до $p_r$ в ПСВ не влияет асимптотическую плотность. Дело в том, что конец одного интервала растет, как $p^2_{r+1}$, т.е как квадрат,а другой конец растет линейно, как $p_{r+1}$. Поэтому отношение длин интервалов от 1 до $p_r$ и от $p_{r+1}$ до $p^2_{r+1}$ стремится к 0 при стремлении $p_r$ к бесконечности.Соответственно данное соотношение справедливо и для количества простых чисел на указанных интервалах.

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

Продолжение

Из предыдущего сообщения вытекает метод перехода от асимтотической плотности K-кортежей ПСВ по модулю m к асимптотической плотности простых k-кортежей в натуральном ряде. Для этого достаточно определить асимптотику средней плотности k-кортежей в ПСВ по модулю $m=2 \cdot 3... p_r$ при стремлении $p_r$ к бесконечности.
Назовем кортежами вычетов последовательно расположенные вычеты в ПСВ по модулю m. Рассмотрим кортежи, состоящие из k вычетов, количество которых определяется по формуле:

$$N_k(m)=A_k\prod_{p>k}(p-k); p\mid m \eqno (3)$$

Примером таких кортежей для k=2 являются близнецы, так как число вычетов близнецов ПСВ по модулю m определяется по формуле:

$$N_2(m)=(3-2)(5-2)....(p_r-2)= \prod_{p>2}(p-2); p\mid m \eqno (4)$$

Другим примером таких кортежей для k=4 являются 4 вычета, расстояния между которыми равны соответственно: 6,2,6, так как число таких кортежей ПСВ по модулю m определяется по формуле:

$$N_4(m)=\frac {4} {3} (5-2)....(p_r-2)= \frac {4} {3}\prod_{p>4}(p-4); p\mid m \eqno (5)$$

Число вычетов для кортежей в ПСВ по модулю m взято из темы vorvalm "Бесконечность простых близнецов".

Средняя плотность вычетов указанных кортежей ПСВ по модулю m на основании (1) определяется по формуле:

$$P_k(m)=N_k(m)/m=A_k \prod_{p>k}(p-k)/ \prod_{p \geq 2} p=A_k\prod_{p>k}(1-\frac {k} {p})/\prod_{2\leq k} {p},\eqno(6)$$

где $p\mid m$.

Определим асимптотическую плотность простых k-кортежей в натуральном ряде.

Утверждение 2
Асимптотическую плотность простых k-кортежей в натуральном ряде равна:

$$P_{k}(x) \sim C_{k}/ \ln^k x\eqno (7).$$

Доказательство
Рассмотрим (6) $P_{km}(x)=A_k\prod_{k+1 \leq p\leq x}{(1-\frac {k} {p})}/\prod_{2\leq k} {p}$.
Прологарифмируем и разложим в ряд выражение $\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p})$:

$$ \ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=\sum_{k+1 \leq p\leq x} { \ln(1-\frac {k} {p}})= -k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(\frac {1} {p})-k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(1/2p^2+1/3p^3+...)$$

Используем формулу:

$$\sum_{p \leq x}{(\frac {1} {p})=\sum_{p\leq k}}(\frac {1} {p})+\sum_{k+1 \leq p\leq x}}{(\frac {1} {p})=M+\ln \ln(x)+O(1/lnx)$$

, где М-постоянная Мертенса.
Получаем:

$$\ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=C_{1k}-k \lnx \lnx+C_{2k}/lnx+o(1/lnx)$$

$$\ln\left(\prod_{k+1 \leq p\leq x}\left(1-\frac {k} {p}\right)\right)=C_{1k}-k +C_{2k}/\ln x+o(1/\ln x)$$

Потенциируем и получаем:

$$\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) = e^{C_{1k}}(1+o(1)) / ln^k(x)$$

Следовательно,

$$\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) \sim C_{3k}/ \ln^k x \eqno (8)$$

Поэтому из формулы (8) получаем асимптотическую плотность простых k-кортежей в натуральном ряде:

$$P_{k}(x)=A_k\prod_{k+1 \leq p\leq x}{(1-\frac {k} {p})}/\prod_{2 \leq k}{p}\sim A_k \cdot C_{3k}/ \ln^k x \prod_{2\leq k}{p}=C_{k}/ \ln^k x$$

, где $C_{k}=A_k \cdot C_{3k}/\prod_{2\leq k} {p}$.

Следствие
Полученная в утверждении 2 функция плотности простых K- кортежей в натуральном ряде полностью удолетворяет условиям утверждения 5 темы "Плотность числовой последовательности", поэтому на основании этого утверждения асимптотическое количество простых k-кортежей в натуральном ряде равно:

$$\pi_k(x)\sim C_k\int_{k+1}^{\infty}{\frac {dt} {ln^k(t)}}.(9)$$

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #661397 писал(а):

Продолжение
Следствие
Полученная в утверждении 2 функция плотности простых K- кортежей в натуральном ряде полностью удолетворяет условиям утверждения 5 темы "Плотность числовой последовательности", поэтому на основании этого утверждения асимптотическое количество простых k-кортежей в натуральном ряде равно:

$$\pi_k(x)\sim C_k\int_{k+1}^{\infty}{\frac {dt} {ln^k(t)}}.(9)$$

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

Как это надо понимать? Значит ли это, что если группа из К вычетов существует в ПСВ,
то она существует и среди простых чисел?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #661737 писал(а):

Как это надо понимать? Значит ли это, что если группа из К вычетов существует в ПСВ,
то она существует и среди простых чисел?

Нет конечно! В сообщении выше описана процедура перехода от асимптотической плотности кортежей ПСВm к асимптотической плотности простых кортежей. Подчеркиваю асимптотической.

[vorvalm]

Мой вопрос не случаен.
Например, оценка В.Бруна числа близнецов, не превышающих $x$, выведена
из их асимптотической плотности.
Возможна ли такая аналогия с группами из К вычетов.

[vicvolf]

Это не совсем тоже. Бруно доказал оценку сверху для количества близнецов. Я вывожу асимптотическое равенство для количества k-кортежей. Это асимтотическая теорема о распределении простых чисел в последовательности натурального ряда чисел при k=1. Это гипотеза Харди-Литлвуда для простых близнецов в последовательности натурального ряда чисел при k=2, на которую я сделал ссылку в начале работы.
Кстати посмотрите тему о плотности числовой последовательности - я там пишу об асимтотической плотности одной последовательности в другой последовательности и в частности об асимтотической плотности вычетов, простых чисел и простых близнецов в натуральном ряде чисел.

[vorvalm]

Я имею в виду формулу:

асимптотическое количество простых k-кортежей в натуральном ряде равно:

$$\pi_k(x)\sim C_k\int_{k+1}^{\infty}{\frac {dt} {ln^k(t)}}.(9)$$

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

1) Мне не понятен нижний предел интегрирования,
2) Если $\pi_k(x)$ - число групп из К чисел в интервале не превышающем $x$,
то почему интеграл несобственный.