Высшая алгебра. Число гомоморфизмов и подгрупп.

[LordJohn]

Есть две задачи:
Группа $A=\mathbb{Z}_{12}\bigoplus\mathbb{Z}_6\bigoplus\mathbb{Z}_{10}$.
1. Найти число гомоморфизмов из A в $\mathbb{Z}_{10}$ и из $\mathbb{Z}_{10}$ в A и указать, сколько получится сюръективных и инъективных.
Вот мои соображения:
$|\mathbb{Z}_{n}\rightarrow\mathbb{Z}_{m}|=НОД(m, n) \Rightarrow$
$|\mathbb{Z}_{12}\rightarrow\mathbb{Z}_{10}|=2$
$|\mathbb{Z}_{6}\rightarrow\mathbb{Z}_{10}|=2;$
$|\mathbb{Z}_{10}\rightarrow\mathbb{Z}_{10}|=10\Rightarrow$
$\Rightarrow|A\rightarrow\mathbb{Z}_{10}|=|\mathbb{Z}_{10}\rightarrow A|=2\cdot2\cdot10=40
Но я не понимаю, как мне искать, какие именно из них инъективны, а какие сюръективны.
2. Найти число подгрупп порядков 1, 2, ... , 10 в А.
Вот мои соображения:
Число подгрупп порядка 1, естественно, один. Но как искать число подгрупп большего порядка - я не знаю. Знаю лишь, как искать количество элементов заданного порядка.

[LordJohn]

Какие-нибудь идеи есть?

[Deggial]

LordJohn в сообщении #661225 писал(а):

Но как искать число подгрупп большего порядка - я не знаю. Знаю лишь, как искать количество элементов заданного порядка.

Вы можете начать даже с этого. Если $g$ - элемент второго порядка, то ему в точности соответствует одна группа порядка $2$. Какая? Несложно найти и число подгрупп порядка $3$ и еще двух порядков.

LordJohn в сообщении #661225 писал(а):

1. Найти число гомоморфизмов из A в $\mathbb{Z}_{10}$ и из $\mathbb{Z}_{10}$ в A и указать, сколько получится сюръективных и инъективных.

А вообще возможен ли инъективный гомоморфизм из $A$ в $\mathbb{Z}_{10}$?
Попробуйте задать гомоморфизм в общем виде и проверьте прямо, является ли он сюръективным.