Предел последовательности

[molblox]

Как находить пределы последовательностей вида:
$x_1 = 1/2, x_{n+1} = 4/3x_n - x_n^2$
Так понимаю, нужно доказать монотонность и ограниченность, но как?

[_Ivana]

Допустим, вы как-то доказали монотонность и ограниченность. И как это поможет вам найти предел?

[xmaister]

Докажите, что $0<x_n<4/9$. Далее пользуемся возрастание $f(x)=4/3x-x^2$ на $[0,2/3]$.

[ewert]

xmaister в сообщении #661487 писал(а):

Докажите, что $0<x_n<4/9$

Тогда уж наоборот -- что все $x_n>\dfrac13$. Последовательность-то ведь убывает.

А вообще такие задачи надо решать, конечно, графически, постоянно приговаривая приличествующие делу заклинания.

[molblox]

Как доказать убывание и ограниченность?

[TOTAL]

$4/3x_n$ - это что?

[xmaister]

ewert в сообщении #661496 писал(а):

Тогда уж наоборот -- что все $x_n>\dfrac13$.

Так $f(x)=4/3x-x^2$ непрерывна и возрастает на $[0,2/3]$, причем $f([0,2/3])\subset [0,2/3]$. Этого достаточно для сходимости.

[ewert]

TOTAL в сообщении #661521 писал(а):

$4/3x_n$ - это что?

Естественно, не дробь. Иначе там будет жуткая, жуткая расходимость.

molblox в сообщении #661514 писал(а):

Как доказать убывание и ограниченность?

В лоб, раз мы уж эти факты знаем.

Ограниченность снизу числом $\frac13$ всех членов последовательности означает, что $\frac43x-x^2>\frac13$ для всех иксов в интервале от $\frac13$ до начального приближения $\frac12$. Аналогично, монотонное убывание -- что $\frac43x-x^2>x$ при том же условии. Тупо решаем эти неравенства -- и убеждаемся, что решение как одного, так и другого покрывает интересующий нас ромежуток $(\frac13;\frac12]$.

[nikvic]

molblox в сообщении #661478 писал(а):

Как находить пределы последовательностей вида:

Написать .5 в ячейке (1,1) Экселя, ниже - формулу "=4/3*R[-1]C-R[-1]C^2" и протянуть её вниз

[TOTAL]

ewert в сообщении #661526 писал(а):

TOTAL в сообщении #661521 писал(а):

$4/3x_n$ - это что?

Естественно, не дробь. Иначе там будет жуткая, жуткая расходимость.

$(x_{n+1} - \frac13) = (x_{n} - \frac13)(1-x_n)$
Тогда вот отсюда видно и убывание и что не меньше $1/3$

[ewert]

xmaister в сообщении #661523 писал(а):

Так $f(x)=4/3x-x^2$ непрерывна и возрастает на $[0,2/3]$, причем $f([0,2/3])\subset [0,2/3]$. Этого достаточно для сходимости.

Этого в определённом смысле недостаточно. Т.е. существование предела из этого, конечно, следует, но никак не следует, к чему именно. Вот в этой конкретно последовательности: к чему конкретно?...

(только честно, безо всякого дополнительного исследования поведения функции!)

[nikvic]

ewert в сообщении #661533 писал(а):

только честно, безо всякого дополнительного исследования поведения функции

Тогда сначала найти предел, а потом переписать саму рекурренцию с заменой переменного.

[ewert]

nikvic в сообщении #661535 писал(а):

Тогда сначала найти предел,

Так просто не выйдет -- там два возможных предела

[xmaister]

ewert в сообщении #661533 писал(а):

Этого в определённом смысле недостаточно. Т.е. существование предела из этого, конечно, следует, но никак не следует, к чему именно. Вот в этой конкретно последовательности: к чему конкретно?...

(только честно, безо всякого дополнительного исследования поведения функции!)

Да, это я упустил. Так сразу не видно к чему она сходится, к $0$ или к $1/3$. Все равно придется доказывать неравенство $x_n>1/3$.

[nikvic]

ewert в сообщении #661577 писал(а):

там два возможных предела

"Там" предел один. Кандидатов - два.