помогите понять вывод уравнения мембраны! ММФ

[grandmix]

Методы мат физики. всю ночь пытался понять очень простой вроде бы вывод уравнения колебания мембраны.
прикладываю ссылку на файл с выводом http://alexandr4784.narod.ru/kgs/kgs_gl01_02.pdf
конкретно непонятен момент как берется проекция на ось $ou$, почему косинус равен $\frac{du}{dn}$ ?
туплю на ночь, но не пойму никак . спасибо всем, кто откликнется!

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не набраны ТеХом

Оформите формулы ТеХом, как написано здесь или здесь (или в этом видеоролике). Приведите попытки решения задачи, напишите, с чем конкретно возникает проблема. После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено и тогда тема будет возвращена.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Munin]

Я так понимаю, там тангенс, а не косинус. Наверное, это описка в тексте. И рисунок какой-то неудачный.

[grandmix]

может и так. но ведь проекцию на ось вертикальную вроде берут косинусом (насколько я понимаю), может быть идет учет что функция $u(x,t)$ имеет очень небольшие отклонения:? в Тихонове и Самарсокм кстати тоже так.согласен, рисунок не самый лучший

[Munin]

grandmix в сообщении #661295 писал(а):

но ведь проекцию на ось вертикальную вроде берут косинусом (насколько я понимаю)

Косинусом какого угла? Косинус одного угла - это синус другого, а когда угол мал, синус и тангенс примерно равны и взаимозаменяемы.

grandmix в сообщении #661295 писал(а):

может быть идет учет что функция $u(x,t)$ имеет очень небольшие отклонения:?

Разумеется, всё это проделывается в предположении малости $u.$ Иначе получится не линейное уравнение мембраны, а гораздо более сложное нелинейное уравнение, которое и решить-то нельзя.

[ewert]

Синус и тангенс -- это при малых колебаниях одно и то же, а косинус угла наклона силы к вертикали -- это и есть синус отклонения от горизонтали, о котором там говорится, пусть и не очень вразумительно. Если же провести вертикальную плоскость через вектор нормали к границе, то для графика, образованного пересечением этой плоскости с поверхностью, угловой коэффициент как раз и будет производной функции, задающей поверхность, по соответствующему направлению в горизонтальной плоскости, т.е. фактически по направлению вектора нормали к границе (поскольку поверхность почти плоская). Собственно, на том рисунке именно ту вертикальную плоскость и попытались изобразить, только выглядит она как не пришей кобыле хвост; ну, не хватило художественных способностей, что ж тут поделать.