Этот интеграл задает изопериметрическое условие, поэтому Ваша задача обычно называется изопериметрической задачей. Для ее решения Вам нужно записать новый интегранд:
![\[\lambda _0 \dot x^2 + \lambda _1 xe^t \]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/3/1f3d53d8eb628bfcaf55b842310d7c8382.png "\[\lambda _0 \dot x^2 + \lambda _1 xe^t \]")
с заранее неизвестными коэффициентами
![\[\lambda _0 \;,\lambda _1 \]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/a/f1a05444af6fea54eb4b92a896cfbdd082.png "\[\lambda _0 \;,\lambda _1 \]")
- множителями Лагранжа, выписать для этого интегранда уже известное Вам ур-ние Эйлера-Лагранжа:
![\[ - \frac{d}{{dt}}(\lambda _0 \dot x^2 + \lambda _1 xe^t )'_{\dot x} + (\lambda _0 \dot x^2 + \lambda _1 xe^t )'_x = 0\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/b/19bc4f95bb4baa59ce32af32e0d60fec82.png "\[ - \frac{d}{{dt}}(\lambda _0 \dot x^2 + \lambda _1 xe^t )'_{\dot x} + (\lambda _0 \dot x^2 + \lambda _1 xe^t )'_x = 0\]")
, решить его и определить множители Лагранжа с учетом того, что не все они равны нулю одновременно (и поэтому эти множители определены с точностью до пропорциональности), а также нужно учесть изопериметрическое и краевые условия. Уравнение Эйлера-Лагранжа является о.д.у. 2-го порядка, поэтому оно содержит две неизвестные константы. Еще одна неизвестная константа - второй коэффициент Лагранжа (Вы должны будете доказать, что первый коэффициент не равен 0, после чего заменить его удобным числом). Итак, у Вас будут три условия - два краевых и одно изопериметрическое для определения трех констант.
, которые удовлетворяют начальным условиям.