2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 допустимые экстремали (решения уравнения Эйлера)
Сообщение17.05.2007, 14:51 
Аватара пользователя
Помогите, пожалуйста, найти допустимые экстремали:

\int \limits_0^1 \dot x^2 dt, \int \limits_0^1 x e^t dt=0, x(0)=0, x(1)=1.

Заранее большое спасибо..

 
 
 
 
Сообщение17.05.2007, 14:55 
Аватара пользователя
Nadzieja писал(а):
Помогите, пожалуйста, найти допустимые экстремали:
А что такое: допустимые экстремали? :shock:

 
 
 
 
Сообщение18.05.2007, 00:37 
Аватара пользователя
Допустимые экстремали - это функции x(t), которые являются решениями уравнения Эйлера $$\frac d{dt}(\frac{\partial F}{\partial\dot{x}})-\frac{\partial F}{\partial x}=0$$, которые удовлетворяют начальным условиям.
А в данном случае я просто не знаю, зачем тут нужно это странное условие - интеграл... Без него - всё отлично, а с ним - ничего не подходит:((

 
 
 
 
Сообщение18.05.2007, 06:41 
Аватара пользователя
Этот интеграл задает изопериметрическое условие, поэтому Ваша задача обычно называется изопериметрической задачей. Для ее решения Вам нужно записать новый интегранд:\[\lambda _0 \dot x^2  + \lambda _1 xe^t \] с заранее неизвестными коэффициентами \[\lambda _0 \;,\lambda _1 \]- множителями Лагранжа, выписать для этого интегранда уже известное Вам ур-ние Эйлера-Лагранжа: \[ - \frac{d}{{dt}}(\lambda _0 \dot x^2  + \lambda _1 xe^t )'_{\dot x}  + (\lambda _0 \dot x^2  + \lambda _1 xe^t )'_x  = 0\], решить его и определить множители Лагранжа с учетом того, что не все они равны нулю одновременно (и поэтому эти множители определены с точностью до пропорциональности), а также нужно учесть изопериметрическое и краевые условия. Уравнение Эйлера-Лагранжа является о.д.у. 2-го порядка, поэтому оно содержит две неизвестные константы. Еще одна неизвестная константа - второй коэффициент Лагранжа (Вы должны будете доказать, что первый коэффициент не равен 0, после чего заменить его удобным числом). Итак, у Вас будут три условия - два краевых и одно изопериметрическое для определения трех констант.

 
 
 
 
Сообщение18.05.2007, 11:56 
Аватара пользователя
Спасибо огромное! Вы мне очень очень помогли.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group