Преобразование Лорана - решить разностное уравнение.

[Pushinka]

Операционным методом решить данное разностное уравнение преобразованием Лорана:

$x[k+2]-3x[k+1]+2x[k]=k; x[0]=0; x[1]=-2.$

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Математика (общие вопросы)»
Причина переноса: формулы не набраны ТеХом

Наберите формулы ТеХом полностью, как написано здесь и приведите попытки решения, после чего сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено и тогда тема будет возвращена.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[profrotter]

А собственные попытки решения? Предполагаю, тут надо взять это самое преобразование Лорана от обеих частей уравнения, выразить искомое изображение, затем взять обратное преобразование Лорана. Интересно, а что такое это самое преобразование Лорана?

[Pushinka]

Дело в том, что я пропустила эти занятия, а интернете не могу найти пример решения...(( Можете, пожалуйста, поподробнее рассказать?)

[profrotter]

Вам про преобразование Лорана рассказать или тупо привести пример решения? Или и то и другое?

[Pushinka]

Пример, пожалуйста)))

[profrotter]

Решаем разностное уравнение вида

$$ax(k+1)+bx(k)=k$$

с начальным условием $x(0)=x_0$. (Коэффициенты $a$ и $b$ предполагаем такими, что все последующие действия математически корректны).
Применим к обеим частям записанного уравнения преобразование Лорана, тогда с учётом свойств линейности и сдвига получим:

$$az(X(z)-x_0)+bX(z)=\frac {z}{(z-1)^2},$$

где $X(z)=Z\{x(k)\}$ - изображение искомой последовательности. Выразим $X(z)$:

$$X(z)=\frac {z}{(z-1)^2(az+b)}+\frac {azx_0}{(az+b)}=\frac {z+azx_0(z-1)^2}{(z-1)^2(az+b)}=$$

$$=z\frac {1+ax_0z^2-2azx_0+ax_0}{a(z-1)^2(z-(-b/a))}=z\frac {Az^2+Bz+C}{(z-1)^2(z-z_0)},$$

где обозначено

$$A=x_0; B=-2x_0; C=1/a+x_0; z_0=(-b/a).$$

Обратное преобразование Лорана найдём как сумму вычетов подынтегральной функции во всех её полюсах. Подынтегральная функция обратного преобразования Лорана:

$$f(z)=z^k\frac {Az^2+Bz+C}{(z-1)^2(z-z_0)}$$

имеет два полюса $z_1=1$ кратности 2 и $z_2=z_0$ кратности 1. (Предполагаем, что коэффициенты А,В,С такие, что числитель не имеет корней, равных $z_1$ или $z_2$, и $z_0\neq 1$)
Найдём соответствующие вычеты.

$$\operatorname{res}_{z=z_0}f(z)=f(z)(z-z_0)|_{z=z_0}=z_0^k\frac {Az_0^2+Bz_0+C}{(z_0-1)^2}$$

$$\operatorname{res}_{z=1}f(z)=\frac {d}{dz}f(z)(z-1)^2|_{z=1}=\frac {d}{dz}z^k\frac {Az^2+Bz+C}{(z-z_0)}|_{z=1}=$$

$$z^k\left(\frac {Az^2+Bz+C}{(z-z_0)}\right)'+kz^{k-1}\frac {Az^2+Bz+C}{(z-z_0)}|_{z=1}=$$

$$=...=\alpha k+\beta,$$

где $\alpha,\beta$ - числа, которые лень определять.

Запишем решение

$$x(k)=z_0^k\frac {Az_0^2+Bz_0+C}{(z_0-1)^2} +\alpha k+\beta.$$

Примерно так, но возможно я где-то и ошибся в выкладках.