степень отображения

[nastya2011]

Помогите, пожалуйста, с задачей для зачета((((
Вычислить степень отображения $f : SO(3) \to SO(3)$, которое каждой ортогональной матрице ставит в соответствие матрицу $A^2$, то есть $ f(A)=A^2$

[ИСН]

Что такое степень отображения?

[nastya2011]

ну если нам дано гладкое ориентируемое многообразие, то нужно взять точку регулярную, как я понимаю, единичную матрицу, и посмотреть ее проообразы, и сравнить ориентацию, и если совпала, то сопоставить $+1$, а иначе $-1$, и сумма этих "единичек" и будет степенью нашего отображения

-- Ср дек 19, 2012 19:06:45 --

но я не знаю как это хитрое дело провернуть(
там по идее возможно 8 вариантов (ну я столько нашла), которые перейдут в единичную матрицу в квадрате, но я не уверена, что это все :( и как сравнивать ориентацию, тоже не особо понятно

[ИСН]

Не всё понял, но это потом.
Матрицы, которые в квадрате дают единичную? 8 штук нашли? Дайте угадаю: у них на диагонали стоят 1 и/или -1, а на остальных местах нули. Так?

[g______d]

ИСН в сообщении #660761 писал(а):

Дайте угадаю: у них на диагонали стоят 1 и/или -1, а на остальных местах нули. Так?

Еще бывает такое

$$ \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix} $$

Зато диагональных всего 4, т. к. определитель должен быть равен 1.

[nastya2011]

g______d
именно, 4 диагональных, и еще таким образом 4 как у Вас примерно) ну они все получились перестановкой базисных столбцов, не уверена, что я все нашла(

а как определить знак плюс или минус 1 надо брать для подсчета ориентации?(

[g______d]

$SO(3)$ неориентируемо. Поэтому определена степень только по модулю 2. Как мне кажется, в этом случае не важно, $+1$ или $-1$, поэтому ответ --- это $8$ по модулю 2, т. е. 0.

Но я не уверен на все 100%; в частности, будет ли 1 регулярной точкой?

[ИСН]

Еще бывает такое

$$ \begin{pmatrix} -{1\over3}&{^2\!/\!_3}&{^2\!/\!_3}\\ {^2\!/\!_3}&-{1\over3}&{^2\!/\!_3}\\ {^2\!/\!_3}&{^2\!/\!_3}&-{1\over3} \end{pmatrix} $$

[g______d]

Нет, я не прав. $SO(3)$ ориентируемо.

-- 19.12.2012, 20:45 --

Но я подозреваю, что $1$ --- не регулярная, т. к. она неподвижная. Не знаю :(

-- 19.12.2012, 20:49 --

Да, прообраз единицы бесконечен. В нем лежат повороты на $\pi$ относительно вообще всех осей. Т. е. этот прообраз гомеоморфен $\mathbb R\mathbb P^2$.

-- 19.12.2012, 21:25 --

Да. Если элемент $SO(3)$ не является единичным, то он является поворотом относительно некоторой оси, однозначно определяемой этим элементом. И его квадрат (если он не единичен), является поворотом вокруг той же оси. Поэтому отображение в окрестности такого элемента устроено просто как отображение окружности в себя $\varphi\mapsto 2\varphi$.

[g______d]

... и имеет степень 2

[nastya2011]

g______d
если я правильно поняла, то единицу рассматривать нельзя, так как ее прообраз бесконечен.
и по Вашим рассуждениям, рассмотрев не единичный элемент получаем, что степень отображения нашего получится 2, я все верно поняла?)

[g______d]

nastya2011 в сообщении #660822 писал(а):

g______d
если я правильно поняла, то единицу рассматривать нельзя, так как ее прообраз бесконечен.
и по Вашим рассуждениям, рассмотрев не единичный элемент получаем, что степень отображения нашего получится 2, я все верно поняла?)

Да. Если я нигде не напутал.

[Oleg Zubelevich]

$SO(3)$ вроде кватенионами задается

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #660825 писал(а):

$SO(3)$ вроде кватенионами задается

$SU(2)$ задается. Чтобы получить $SO(3)$, надо профакторизовать по $\{1;-1\}$.

[Oleg Zubelevich]

ну вот и я о том. Значит можем явные формулы написать