Теорвер. Комбинаторика.

[last]

Приветствую, форумчане! Чуть ниже текст моей задачки и мои наработки по ней, не могу понять как решить пункты (б, в, г) - сложности с комбинаторикой. Буду очень признателен за помощь.
Определить вероятность того, что номер первой встретившейся автомашины:
а) не содержит одинаковых цифр
б) имеет две одинаковые цифры
в) имеет три одинаковые цифры
г) содержит две пары одинаковых цифр
д) состоит из одинаковых цифр
Известно, что все номера четырёхзначные, начиная с 0001, не повторяющиеся и равновозможные.
Я решил а и д:
а) $$ A_{10}^{4} = \frac{10!}{6!}; P = \frac {A_{10}^{4}}{10^{4}-1}$$
д) $$ P = \frac{9}{9999}$

[Sonic86]

А как пытались решать б), в), г)? Они тоже несложные
а), д) правильно.

[last]

Sonic86 в сообщении #660199 писал(а):

А как пытались решать б), в), г)?

Перебором.
б) Цифры в номере могут располагаться шестью вариантами:

$aabc = 10 \cdot(100-1) = 990; $ - столько вариантов номера такого вида существует
$abac = 10 \cdot 99 = 990;\\ abca = 9 \cdot 100 = 900;\\ baac = 10 \cdot 99 = 990;\\ baca = 9 \cdot 100 = 900;\\ bcaa = 9 \cdot 100 = 900;\\ P = \frac{990 \cdot3+900 \cdot3}{9999}=\frac{5670}{9999} - not_ok.$
в)
$ aaab=10 \cdot9=90\\ aaba=9 \cdot10=90\\ abaa=90\\ baaa=90\\ P = \frac{360}{9999}=\frac{40}{1111} - ok.$
г)
$ aabb=10 \cdot9=90\\ abab=90\\ abba=90\\ P = \frac{30}{1111} - ok $


Не могу понять как посчитать для б)

[Sonic86]

last в сообщении #660710 писал(а):

Перебором.
б) Цифры в номере могут располагаться шестью вариантами:

$aabc = 10 \cdot(100-1) = 990; $ - столько вариантов номера такого вида существует
$abac = 10 \cdot 99 = 990;\\ abca = 9 \cdot 100 = 900;\\ baac = 10 \cdot 99 = 990;\\ baca = 9 \cdot 100 = 900;\\ bcaa = 9 \cdot 100 = 900;\\ P = \frac{990 \cdot3+900 \cdot3}{9999}=\frac{5670}{9999} - not_ok.$

Так, ну хорошо, что знаете, что вариантов $6$. Кстати, как определить, что именно $6$ не перебором?
Так, а почему у Вас то $900$, то $990$? Почему вообще $900$ или $990$? А! Понял:

last в сообщении #660710 писал(а):

$aabc = 10 \cdot(100-1) = 990; $ - столько вариантов номера такого вида существует

Вы перебрали вообще все варианты последних 2-х цифр. Это неправильно, поскольку там среди них попадутся числа с цифрами $a$. попробуйте еще раз.

в), г) после решения б) делаются аналогично.

last в сообщении #660710 писал(а):

г)
$ aabb=10 \cdot9=90\\ abab=90\\ abba=90\\ P = \frac{30}{1111} - ok $

правильно. Только тоже можно рассуждать не перебором, а явно логически, получится более компактно.

[last]

Sonic86 в сообщении #660726 писал(а):

Вы перебрали вообще все варианты последних 2-х цифр. Это неправильно, поскольку там среди них попадутся числа с цифрами $a$. попробуйте еще раз.

Не совсем так. Я перебрал все варианты вида четырёхзначного числа, состоящего из двух одинаковых цифр(a, a) и двух им не тождественных (b, c). Но Вы правы, я действительно упустил совпадения a и b, c. Надо их как-то учесть.

Sonic86 в сообщении #660726 писал(а):

в), г) после решения б) делаются аналогично.

б) можно решить вот так:
$9999-10 \cdot9 \cdot8 \cdot7-360-270-9 = 4320$
Не знаю как это понравится преподавателю, но логика-то железная =) Если мы вычтем из всего количества возможных событий результаты из пунктов а, в, г, д, то получим ответ.