Условный экстремум, достаточные условия. Вырожденный Гессиан

[Oleg_BM]

Здравствуйте, что-то не получается проверить достаточные условия.

Является ли точка $M(2;3;1)$ точкой локального условного экстремума $f(x,y,z)=x^2-y^2-z^2-5x$ при $xz+y^2=11$

$L=x^2-y^2-z^2-5x+\lambda(xz+y^2-11)$

$L'_x=2x-5+\lambda z=0\;\;\;;\;\;\;\;\;L'_y=-2y+2\lambda y=0\;\;\;;\;\;\;\;\;L'_z=-2z+\lambda x=0$


При $\lambda=1$ точка $M(2;3;1)$ удовлетворяет необходимым условиям.

Проверим достаточные условия.

$L''_{xx}\Bigg|_M=2\;\;\;;\;\;\;\;\; L''_{xy}\Bigg|_M=0 \;\;\;;\;\;\;\;\;L''_{xz}\Bigg|_M=1$

$L''_{yx}\Bigg|_M=0\;\;\;;\;\;\;\;\; L''_{yy}\Bigg|_M=0\;\;\;;\;\;\;\;\;L''_{yz}\Bigg|_M=1$

$L''_{zx}\Bigg|_M=1\;\;\;;\;\;\;\;\; L''_{zy}\Bigg|_M=0\;\;\;;\;\;\;\;\;L''_{zz}\Bigg|_M=-2$

Таким образом определитель матрице Гессе равен нулю.

А вот исследовать знак второго дифференциала не получается.

$d^2L=2dx^2+dxdz-2dz^2$

Можно попробовать учесть уравнение связи:

$xz+y^2=11$

$xdz+zdx+2ydy=0$

Пока больше не пришло ничего в голову, может подскажете?

[мат-ламер]

Oleg_BM в сообщении #659757 писал(а):

Можно попробовать учесть уравнение связи:

В оптимальной точке.

[Oleg_BM]

мат-ламер в сообщении #659766 писал(а):

Oleg_BM в сообщении #659757 писал(а):

Можно попробовать учесть уравнение связи:

В оптимальной точке.

Ок, спасибо! $d^2L=2dx^2+dxdz-2dz^2$

$xz+y^2=11$

$xdz+zdx+2ydy=0$

В оптимальной точке $M(2;3;1)$

$2dz+dx+6dy=0$

А как дальше? Если мы выразим $dx$ или $dz$ из уравнения $2dz+dx+6dy=0$ и подставим во второй дифференциал, то появится еще одна переменная. Или подставить?

[мат-ламер]

Oleg_BM в сообщении #659774 писал(а):

подставим во второй дифференциал, то появится еще одна переменная. Или подставить?

Подставить. Наоборот, от одной переменной избавимся.

[Oleg_BM]

$d^2L=2dx^2+dxdz-2dz^2$

$2dz+dx+6dy=0$

$dx=-2dz-6dy$

$d^2L=2(2dz+6dy)^2-(2dz+6dy)dz-2dz^2$


$d^2L=8dz^2+48dzdy+72dy^2-2dz^2-12dydz-2dz^2=36dydz$

А как дальше? Если $dy$ и $dz$ одного знака, то в точке $M$ минимум, если $dy$ и $dz$ разных знаков, то в точке $M$ максимум. А если $dydz=0$, то нужно искать третий дифференциал?

[bot]

А а разве теперь не очевидно, что $d^2L$ знакопеременная кв. форма?

[Oleg_BM]

bot в сообщении #659798 писал(а):

А а разве теперь не очевидно, что $d^2L$ знакопеременная кв. форма?

Ну пока что нет(( Если $dy$ и $dz$ одного знака, то в точке $M$ минимум, если $dy$ и $dz$ разных знаков, то в точке $M$ максимум. А если $dydz=0$, то нужно искать третий дифференциал?

-- 17.12.2012, 18:30 --

Ой, я забыл там слагаемое

$$d^2L=8dz^2+48dzdy+72dy^2-2dz^2-12dydz-2dz^2=36dydz+72dy^2=36(dydz+2dz^2)$$

[bot]

Вот только как это у Вас поучилось? У мну получается $4dz^2+36dydz+72dy^2$, а эта форма положительно определённая.

-- Пн дек 17, 2012 22:35:51 --

Oleg_BM в сообщении #659799 писал(а):

Если и одного знака, то в точке минимум, если и разных знаков, то в точке максимум

Никаких если - эти дифференциалы независимы, в какую сторону захотим, туда и отклонимся.

[Oleg_BM]

bot в сообщении #659803 писал(а):

Вот только как это у Вас поучилось? У мну получается $4dz^2+36dydz+72dy^2$, а эта форма положительно определённая..

$4dz^2+36dydz+72dy^2=(2dz)^2+2\cdot 2\cdot 9 dydz + (9dy)^2-9dy^2=$

$=(2dz+9dy)^2-(3dy)^2=(2dz+6dy)(2dz+12dy)=2(2dz+6dy)^2\geqslant 0$

А, понятно, спасибо. А если $dz=dx=0$, то ведь $d^2L=0$? А если $2dz+6dy=0$, то есть $dz=-3dy$, то ведь $d^2L=0$...

[bot]

Шо ещё и полуопределена? Облом с квадратичной формой. Ну тогда надо точку шевельнуть ...
Или вычисления Ваши проверить ...

-- Вт дек 18, 2012 00:08:02 --

Стоп, а нафиг были лямбды нужны? Из уравнения связи выражаем $y^2$ и подставляем в целевую функцию. Получаем что целевая функция уже сама квадратична и её второй дифференциал она сама и есть только удвоенная. Сразу видно, что квадратичная её часть знакопеременна, так что в критической точке будет седло.

[Oleg_BM]

bot в сообщении #659846 писал(а):

Шо ещё и полуопределена? Облом с квадратичной формой. Ну тогда надо точку шевельнуть ...
Или вычисления Ваши проверить ...

-- Вт дек 18, 2012 00:08:02 --

Стоп, а нафиг были лямбды нужны? Из уравнения связи выражаем $y^2$ и подставляем в целевую функцию. Получаем что целевая функция уже сама квадратична и её второй дифференциал она сама и есть только удвоенная. Сразу видно, что квадратичная её часть знакопеременна, так что в критической точке будет седло.

Просто просят методом Лагранжа (я просто забыл это дописать в условии). А как точку шевельнуть?

[bot]

Да не надо ничего шевелить - у Вас ошибка где-то в вычислении второго дифференциала.. Метод Лагранжа даст ровно то же самое. У Вас ведь $\lambda =1$ и, стало быть в функции Лагранжа $y^2$ исчезает, после чего возникает та же самая квадрика, что и при исключении игрека из уравнения связи.

[Oleg_BM]

bot в сообщении #660026 писал(а):

Да не надо ничего шевелить - у Вас ошибка где-то в вычислении второго дифференциала.. Метод Лагранжа даст ровно то же самое. У Вас ведь $\lambda =1$ и, стало быть в функции Лагранжа $y^2$ исчезает, после чего возникает та же самая квадрика, что и при исключении игрека из уравнения связи.

Странно...

$L=x^2-y^2-z^2-5x+\lambda(xz+y^2-11)$

$L'_x=2x-5+\lambda z\;\;\;;\;\;\;\;\;L'_y=-2y+2\lambda y\;\;\;;\;\;\;\;\;L'_z=-2z+\lambda x$

Вторые производные

$L''_{xx}=2\;\;\;;\;\;\;\;\; L''_{xy}=0 \;\;\;;\;\;\;\;\;L''_{xz}=\lambda$

$L''_{yx}\Bigg|_M=0\;\;\;;\;\;\;\;\;L''_{yy}\Bigg|_M=-2+2\lambda\;\;\;;\;\;\;\;\;L''_{yz}\Bigg|_M=0$

$L''_{zx}\Bigg|_M=1\;\;\;;\;\;\;\;\; L''_{zy}\Bigg|_M=0\;\;\;;\;\;\;\;\;L''_{zz}\Bigg|_M=-2$

Тогда

$L''_{xx}\Bigg|_M=2\;\;\;;\;\;\;\;\; L''_{xy}\Bigg|_M=0 \;\;\;;\;\;\;\;\;L''_{xz}\Bigg|_M=1$

$L''_{yx}\Bigg|_M=0\;\;\;;\;\;\;\;\; L''_{yy}\Bigg|_M=0\;\;\;;\;\;\;\;\;L''_{yz}\Bigg|_M=0$

$L''_{zx}\Bigg|_M=1\;\;\;;\;\;\;\;\; L''_{zy}\Bigg|_M=0\;\;\;;\;\;\;\;\;L''_{zz}\Bigg|_M=-2$

$d^2L=2dx^2+2dxdz-2dz^2$

$dx=-2dz-6dy$

$d^2L=2(2dz+6dy)^2-2(2dz+6dy)dz-2dz^2$

$d^2L=8dz^2+48dzdy+72dy^2-4dz^2-24dydz-2dz^2=4dz^2+24dydz+72dy^2=$

$=4(dz^2+6dydz+18dy^2)=4(dz^2+6dydz+9dy^2-9dy^2)=4\left((dz+3dy)^2-9dy^2\right)=4dz(dz+6dy)$[/math]

[bot]

Вот теперь так. Ну и разве не ясно, что эта квадратичная форма знакопеременна? Если всё нет, возьмите $dx=1, dz=0$, а потом наоборот $dx=0, dz=1$
Вот здесь я на пальцах объяснял.

(Оффтоп)

На лекции я так и начинаю прежде чем сформулировать точно и начинать доказывать.

[Oleg_BM]

$d^2L=2dx^2+2dxdz-2dz^2$

$dx=-2dz-6dy$

$d^2L=2(2dz+6dy)^2-2(2dz+6dy)dz-2dz^2$

$d^2L=8dz^2+48dzdy+72dy^2-4dz^2-24dydz-2dz^2=4dz^2+24dydz+72dy^2=$

$=4(dz^2+6dydz+18dy^2)=4(dz^2+6dydz+9dy^2-9dy^2)=$

$=4\left((dz+3dy)^2-9dy^2\right)=4dz(dz+6dy)$