Линейная независимость векторов

[Andreas]

Есть 4 вектора :
$\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\2+a\\2+a\\-1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2+a\\(2+a)^2\\(2-a)^2\\-4-a \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0 \end{pmatrix}$

Исследовать на линейную независимость.

[Slumber]

Если выписать матрицу
$&\left(\begin{array}{cccc} 0 &1 &1 &0\\ -1 &(2+a) &(2+a) &-1\\ (-2+a) &(2+a)^2 &(2-a)^2 &(-4-a)\\0 &1 &0 &0\end{array} \right) $
и вычесть из четвертого столбца первый(пользуемся теоремой о равенстве строчного и столбцевого рангов матрицы):
$&\left(\begin{array}{cccc} 0 &1 &1 &0\\ -1 &(2+a) &(2+a) &0\\ (-2+a) &(2+a)^2 &(2-a)^2 &(-2-2a)\\0 &1 &0 &0\end{array} \right) $
То при $a = -1$ у нас сразу есть нулевой столбец - ЛЗ.
Если же оно у нас не равно минус единице, превращаем эту строку в нули (коэффициенты либо нули, либо вычитаются этим столбцом):
$&\left(\begin{array}{cccc} 0 &1 &1 &0\\ -1 &(2+a) &(2+a) &0\\ 0 &0 &0 &1\\0 &1 &0 &0\end{array} \right) $
Дальше очевидно.

[ewert]

Andreas в сообщении #660021 писал(а):

Исследовать на линейную независимость.

Надо просто выписать определитель матрицы, которая у Вас сейчас перед глазами (т.е. составленной из этих столбцов). Можно это делать совсем тупо, раскладывая его по последнему столбцу и потом единственный необходимый минор третьего порядка -- по первому столбцу.

[Andreas]

А как поступать, если у нас есть только три первых вектора, например? То есть определитель вычислить не получится. Сводить к треугольной надо, да?

[ewert]

Andreas в сообщении #660110 писал(а):

Сводить к треугольной надо, да?

Да. Собственно, и определитель можно считать сведением к треугольной, но при этом усложняется логика.

[Andreas]

Спасибо!

Вопрос закрыт.