Произведение простых идеалов в $\mathbb{Z}[i]$

[xmaister]

Добрый день! Наведите на мысль как доказать, что всякий идеал $(p)^e\subset\mathbb{Z}[i]$, где $p\equiv 1\pmod 4$ представим в виде произведения двух различных простых идеалов. $(p)^e$- идеал, порожденный $(p)$ в $\mathbb{Z}[i]$.

[nnosipov]

Чем замечательны простые числа $p \equiv 1 \pmod{4}$? (Это хорошо известный факт.)

[xmaister]

То что всякое такое простое представимо в виде суммы двух квадратов целых. Ну эти два утверждения эквивалентны, вроде бы. Я хочу понять из-за каких свойств кольца $\mathbb{Z}[i]$ так происходит. Т.е. интересует чисто алгебраическое доказательство (оно есть?).

[nnosipov]

xmaister в сообщении #659607 писал(а):

Т.е. интересует чисто алгебраическое доказательство (оно есть?).

Есть. Но для этого сначала нужно установить факториальность кольца $\mathbb{Z}[i]$, что, в свою очередь, следует из его евклидовости. И ещё один фактик понадобится: сравнение $x^2+1 \equiv 0 \pmod{p}$ разрешимо.

[xmaister]

Да, с евклидовостью разобрался. Имеет место единственное разложение $z=qw+r, \|r\|<\|w\|$, откуда получаем, что $\mathbb{Z}[i]$- кольцо главных идеалов, значит факториально. Что теперь из факториальности извлечь нужно?

[nnosipov]

xmaister в сообщении #660108 писал(а):

Имеет место единственное разложение $z=qw+r, \|r\|<\|w\|$

Вот здесь аккуратней. В евклидовом кольце единственность деления с остатком не предполагается (важна лишь возможность поделить с остатком), а в данном конкретном случае её нет.

xmaister в сообщении #660108 писал(а):

Что теперь из факториальности извлечь нужно?

План такой: 1) доказать, что простое $p \equiv 1 \pmod{4}$ не может быть простым в $\mathbb{Z}[i]$; 2) разложить это $p$ на простые сомножители в $\mathbb{Z}[i]$.

Вообще, про эти дела хорошо написано в Кострикине (один из томов его "Введения в алгебру"). Кажется, есть это и у Винберга в его "Курсе алгебры". Однако рекомендую самостоятельно разобраться, а потом уже заглянуть в учебники и сравнить.

[xmaister]

nnosipov в сообщении #660124 писал(а):

В евклидовом кольце единственность деления с остатком не предполагается (важна лишь возможность поделить с остатком), а в данном конкретном случае её нет.

Да, действительно. Но из евклидовости $A$ все равно очевидным образом следует, что $A$- кольцо главных идеалов. Пусть $(p)^{e}\subset \mathbb{Z}[i]$- прост. $(p)^{e}$- идеал, порожденный простым $p$. Воспользуюсь Вашей подсказкой о том, что $x^2+1\equiv 0\pmod{p}$- разрешимо. Т.е. $(x+i)(y+i)\in (p)^{e}$. В силу факториальности $(p)^{e}$- прост, но при этом ни $x+i$ ни $x-i$, очевидно, не принадлежат $(p)^{e}$. Вот с разложением $p$ на простые че-та туплю...

[nnosipov]

xmaister в сообщении #660659 писал(а):

В силу факториальности $(p)^{e}$- прост, но при этом ни $x+i$ ни $x-i$, очевидно, не принадлежат $(p)^{e}$.

Да, как-то так.

xmaister в сообщении #660659 писал(а):

Вот с разложением $p$ на простые че-та туплю...

Пусть $\rho=a+bi$ --- простой делитель $p$. Тогда $N(\rho)=a^2+b^2$ --- делитель $N(p)=p^2$. Спрашивается, чему может быть равна $N(\rho)$.

[xmaister]

nnosipov
Понял. Действительно очевидно. Спасибо!