Ряд Маклорена, область сходимости

[Limit79]

Разложить функцию $f(x) = \frac{1}{5-4x^2-x^4}$ по степеням $x$ и найти область сходимости полученного ряда.

Как разложить функцию в ряд Маклорена, я догадался: нужно исходную дробь разбить на сумму простейших дробей (их будет три). Далее раскладываю эти три функции в ряды Маклорена, и исходная функция будет равна сумме этих трех рядов.

Вопрос: а как найти область сходимости полученного ряда, их же три? Как-то объединить три полученных ряда в один, или же искать область сходимости каждого, и потом найти пересечение этих трех областей?

[kw_artem]

Да, область где одновременно все три ряда сходятся, т.е. их пересечение

[мат-ламер]

Limit79 в сообщении #659748 писал(а):

(их будет три).

Точно?

-- Пн дек 17, 2012 18:27:08 --

А, извиняюсь, можно и на три дроби. А можно и на две.

[Limit79]

мат-ламер
Простейших - три.

А за идею спасибо, можно же как $ \frac{1}{x^2+5} + \frac{1}{x^2-1}$, и ряда будет два, что уже проще.

[Limit79]

Получил я вот такой не особо красивый ответ, но вроде как результаты сходятся:



-- 17.12.2012, 20:58 --

А можно ли как-то грубо прикинуть правильность ответа?

-- 17.12.2012, 20:59 --

Область сходимости у первого $|x|<\sqrt{5}$, у второго $|x| < 1$, то есть у полученного будет $|x| < 1$.

-- 17.12.2012, 21:04 --

Исходную функцию разложил как $f(x) = \frac{1}{6} \left ( \frac{1}{x^2+5} + \frac{1}{1-x^2} \right )$

Первое слагаемое раскладывал в ряд с помощью биноминального разложения, второе - с помощью разложения $\frac{1}{1-x}$ .

[мат-ламер]

Limit79 в сообщении #659848 писал(а):

Первое слагаемое раскладывал в ряд с помощью биноминального разложения, второй - с помощью разложения

А чем первое слагаемое отличается от второго? Разве что ряд знакочередующийся.

[Limit79]

мат-ламер
Справедливо, но тем не менее одно и то же бы получилось, так как $ \frac{1}{1-x}$ - частный случай биноминального распределения.