Альтернативное определение подструктуры

[gefest_md]

В одной английской книге есть одна теорема. Одну половину этой теоремы не могу никак доказать. ("сигнатура" это "vocabulary".)
Предложение. Пусть $M$ и $N$ структуры на сигнатуре $\nu.$ Если функция $id\colon M\to N,\ id(x)=x$ - вложение (сохраняет все литералы), то $M$ - подструктура $N.$

Итак, надо доказать три условия.
1. $M$ и $N$ имеют одну и ту же сигнатуру (Выполняется.)
2. $U_M\subseteq U_N$ (Мне кажется и это можно показать.)
3. $M$ и $N$ интерпретируют $\nu$ на $U_M$ одинаковым образом.

И вот третий пункт не получается. Не понимаю почему константы из $\nu$ должны интерпретироваться одинаково?

[gefest_md]

$id$ - вложение и биекция. Отсюда можно получить $\forall\varphi\forall\bar{a}\in M(M\models\varphi(\bar{a})\leftrightarrow N\models\varphi(id(\bar{a})))$

И тогда если $R$ $n$-арное отношение из $\nu$, которое интерпретируется как $R_M$ и $R_N$, то мне кажется можно доказать, что $R_M=R_N.$ Пока это всё.

[gefest_md]

От противного. Пусть $M$ интерпретирует константу $c$ как $a_1\in U_M$, а $N$ интерпретирует $c$ как $a_2\in U_N$ и $a_2\neq a_1.$ Тогда

$$M\models c=a_1\to N\models c=id(a_1)$$

И получается противоречие $a_2\neq a_1$ и $a_2=a_1.$ ("$=$" - фиксированный символ логики)

[gefest_md]

Выше я использовал формулу логики первого порядка с равенством $c=x.$ Для случая с функциями мне кажется надо использовать формулу $f(x)=y.$ Так ли это? Пока ещё думаю.