2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ряды
Сообщение16.12.2012, 20:36 


01/10/10
97
Здравствуйте. Проверьте, пожалуйста, правильно ли я ряды решил, и правильно ли у меня все оформлено.

1. Правильна ли такая запись (а то мне постоянно говорят, что у меня оформление неправильное):
$
\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n+6}<\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n}<\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, значит

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n+6}$ тоже расходится

2.

$
\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3n^3+n}{n^4+2} \cos(\frac{n}{3})
$

Воспользуемся признаком Дирихле
$| \sum\limits_{n=1}^{\infty} \cos(\frac{n}{3})| \le \frac{1}{|\sin(\frac{1}{6})|} $

$
\lim\limits_{n \to \infty} \frac{3n^3+n}{n^4+2} = 0
$

Монотонность:

$
f(x) = \frac{3n^3+n}{n^4+2}
$

$
f'(x) = \frac{2+18n^2-3n^4-3n^6}{(n^4+2)^2}
$

При $n>2$, следовательно, $a_n \downarrow $ начиная с N=2.
Следовательно, по признаку Дирихле, ряд сходится.

$
\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3n^3+n}{n^4+2} |\cos(\frac{n}{3})| \ge \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3n^3+n}{n^4+2} \frac{1+\cos(\frac{2n}{3})}{2} =\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3n^3+n}{2(n^4+2)} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3n^3+n}{2(n^4+2)} \cos(\frac{2n}{3})
$
Первая сумма расходится, вторая сходится, следовательно, весь ряд расходится.
Следовательно, абсолютной сходимости нет.
Следовательно, ряд сходится условно.

3.

$
\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(1-x^5)^{n-1}}{n} = \frac{1}{1-x^5} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(1-x^5)^{n}}{n}
$

$
y=1-x^5
$

$
|y|<1
$

$
\varphi = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n}
$

$
\varphi ' (x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} y^{n-1} = \frac{1}{1-y}
$

$
\int\limits_0^y \frac{1}{1-t}dt = -\ln|1-y|
$

$
\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n} = -\ln|1-y|
$

$
\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1-x^5}{n} = -\ln|x^5|
$

$
\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(1-x^5)^{n-1}}{n} = -\frac{\ln|x^5|}{1-x^5}
$

$
|y|<1
$

$
|1-x^5|<1
$

$0<x<2^{\frac{1}{5}}$ - сходится абсолютно

При $x=0$ получим

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ - расходится

При $x=2^{\frac{1}{5}}$ получим

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ - сходится по признаку Лейбница.
Ряд из модулей $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ расходится, следовательно ряд сходится условно.

4. Используя f'(x) разложение, разложить f в степенной ряд по степеням x

$f=\arccos (1-4x^{10})$

$f'(x) = \frac{40x^9}{\sqrt{8x^{10}-16x^{20}}} = \frac{10x^4}{\sqrt{0.5 - x^{10}}}$ Вот тут у меня написали "$x>0$?" и не засчитали задачу :(

$=\frac{10\sqrt{2}x^4}{\sqrt{1-2x^{10}}} = 10\sqrt{2}x^4 (1+(-2x^{10}))^{-\frac{1}{2}}$

$|-2x^{10}|<1$

$
(1+(-2x^{10}))^{-\frac{1}{2}} = 1+ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(2n-1)!!}{n!}x^{10n}
$

$
f'(x) = 10\sqrt{2}x^4 + 10\sqrt{2} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(2n-1)!!}{n!}x^{10n+4}
$

$
\int\limits_0^x f'(t) dt = 10\sqrt{2}(\int_0^xt^4dt + \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(2n-1)!!}{n!}\int\limits_0^xt^{10n+4}) = 2\sqrt{2}x^5 + 10\sqrt{2} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{(2n-1)!!}{n!}\frac{x^{10n+5}}{10n+5})
$

$|-2x^{10}|<1$

$|2x^{10}|<1$

$-0.5^{\frac{1}{10}}<x<0.5^{\frac{1}{10}}$

При в граничных точках ряд сходится абсолютно по признаку Раабе (не стал писать решение, т.к. оно простое, а писать много).

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение16.12.2012, 20:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Очень много букв, пока прочитал только п. 1.
Ну давайте словами. Что это у Вас написано? "Сумма такого-то ряда меньше, чем..." СТОП! Сумма? Какая сумма? Вы её знаете, что ли, чтобы утверждать, что она меньше чего-то? Знаете? Откуда? И чему же она равна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение16.12.2012, 20:53 


01/10/10
97
Т.е. правильно писать:
$
\frac{1}{3n+6} \le \frac{1}{3n} \le \frac{1}{n} 
$

$
\frac{1}{3n+6} \sim \frac{1}{n}
$

$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ расходится $\Leftrightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{3n+6}$ расходится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение16.12.2012, 20:59 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Ketsyki
Что Вы понимаете под записью $\frac{1}{3n+6}\sim \frac{1}{n}$?

-- Вс дек 16, 2012 21:01:41 --

Насчет п.1 то, что этот ряд расходится это правда!
Но Вы сверху оцениваете расходящимся рядом и говорите, что он тоже расходится. Так нельзя делать :!:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение16.12.2012, 21:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Правильно писать то, что есть, и не писать того, чего нет. Также правильно время от времени задавать себе примерно такие вопросы, как я в предыдущем сообщении: а что это написала моя рука? каков смысл этого? откуда оно взялось? точно ли мы это знаем?
Сейчас, например, вот этот момент с $\sim$. Оно верно и даже очевидно, но при чём тут предыдущая строчка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение16.12.2012, 21:03 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
п.2 я Вам здесь объяснял

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение16.12.2012, 21:29 


01/10/10
97
Whitaker, да вот во второй преподу не нравится, что я написал, что частичные суммы $\sum\limits_{n=1}^\infty\cos{\frac{n}{3}}$ ограничены в совокупности. Сейчас по-другому этот момент записал, хотел узнать, правильно ли это.

Вообще, я в 1 пункте писал $ \frac{1}{3n+6} \sim \frac{1}{n} $, следовательно, ряд расходится. Но задачу вернули с фразой: "тут еще кое-чего не хватает". Не могу понять, чего именно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение16.12.2012, 21:35 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Ну вообще-то $\frac{1}{3n+6}\sim\frac{1}{3n}$ при $n\to \infty$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group