Ряды

[Ketsyki]

Здравствуйте. Проверьте, пожалуйста, правильно ли я ряды решил, и правильно ли у меня все оформлено.

1. Правильна ли такая запись (а то мне постоянно говорят, что у меня оформление неправильное):
$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n+6}<\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n}<\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} $

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, значит

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n+6}$ тоже расходится

2.

$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3n^3+n}{n^4+2} \cos(\frac{n}{3}) $

Воспользуемся признаком Дирихле
$| \sum\limits_{n=1}^{\infty} \cos(\frac{n}{3})| \le \frac{1}{|\sin(\frac{1}{6})|} $

$ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{3n^3+n}{n^4+2} = 0 $

Монотонность:

$ f(x) = \frac{3n^3+n}{n^4+2} $

$ f'(x) = \frac{2+18n^2-3n^4-3n^6}{(n^4+2)^2} $

При $n>2$, следовательно, $a_n \downarrow $ начиная с N=2.
Следовательно, по признаку Дирихле, ряд сходится.

$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3n^3+n}{n^4+2} |\cos(\frac{n}{3})| \ge \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3n^3+n}{n^4+2} \frac{1+\cos(\frac{2n}{3})}{2} =\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3n^3+n}{2(n^4+2)} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3n^3+n}{2(n^4+2)} \cos(\frac{2n}{3}) $
Первая сумма расходится, вторая сходится, следовательно, весь ряд расходится.
Следовательно, абсолютной сходимости нет.
Следовательно, ряд сходится условно.

3.

$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(1-x^5)^{n-1}}{n} = \frac{1}{1-x^5} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(1-x^5)^{n}}{n} $

$ y=1-x^5 $

$ |y|<1 $

$ \varphi = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n} $

$ \varphi ' (x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} y^{n-1} = \frac{1}{1-y} $

$ \int\limits_0^y \frac{1}{1-t}dt = -\ln|1-y| $

$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n} = -\ln|1-y| $

$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1-x^5}{n} = -\ln|x^5| $

$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(1-x^5)^{n-1}}{n} = -\frac{\ln|x^5|}{1-x^5} $

$ |y|<1 $

$ |1-x^5|<1 $

$0<x<2^{\frac{1}{5}}$ - сходится абсолютно

При $x=0$ получим

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ - расходится

При $x=2^{\frac{1}{5}}$ получим

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ - сходится по признаку Лейбница.
Ряд из модулей $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ расходится, следовательно ряд сходится условно.

4. Используя f'(x) разложение, разложить f в степенной ряд по степеням x

$f=\arccos (1-4x^{10})$

$f'(x) = \frac{40x^9}{\sqrt{8x^{10}-16x^{20}}} = \frac{10x^4}{\sqrt{0.5 - x^{10}}}$ Вот тут у меня написали "$x>0$?" и не засчитали задачу :(

$=\frac{10\sqrt{2}x^4}{\sqrt{1-2x^{10}}} = 10\sqrt{2}x^4 (1+(-2x^{10}))^{-\frac{1}{2}}$

$|-2x^{10}|<1$

$ (1+(-2x^{10}))^{-\frac{1}{2}} = 1+ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(2n-1)!!}{n!}x^{10n} $

$ f'(x) = 10\sqrt{2}x^4 + 10\sqrt{2} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(2n-1)!!}{n!}x^{10n+4} $

$ \int\limits_0^x f'(t) dt = 10\sqrt{2}(\int_0^xt^4dt + \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(2n-1)!!}{n!}\int\limits_0^xt^{10n+4}) = 2\sqrt{2}x^5 + 10\sqrt{2} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{(2n-1)!!}{n!}\frac{x^{10n+5}}{10n+5}) $

$|-2x^{10}|<1$

$|2x^{10}|<1$

$-0.5^{\frac{1}{10}}<x<0.5^{\frac{1}{10}}$

При в граничных точках ряд сходится абсолютно по признаку Раабе (не стал писать решение, т.к. оно простое, а писать много).

[ИСН]

Очень много букв, пока прочитал только п. 1.
Ну давайте словами. Что это у Вас написано? "Сумма такого-то ряда меньше, чем..." СТОП! Сумма? Какая сумма? Вы её знаете, что ли, чтобы утверждать, что она меньше чего-то? Знаете? Откуда? И чему же она равна?

[Ketsyki]

Т.е. правильно писать:
$ \frac{1}{3n+6} \le \frac{1}{3n} \le \frac{1}{n} $

$ \frac{1}{3n+6} \sim \frac{1}{n} $

$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ расходится $\Leftrightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{3n+6}$ расходится?

[Whitaker]

Ketsyki
Что Вы понимаете под записью $\frac{1}{3n+6}\sim \frac{1}{n}$?

-- Вс дек 16, 2012 21:01:41 --

Насчет п.1 то, что этот ряд расходится это правда!
Но Вы сверху оцениваете расходящимся рядом и говорите, что он тоже расходится. Так нельзя делать

[ИСН]

Правильно писать то, что есть, и не писать того, чего нет. Также правильно время от времени задавать себе примерно такие вопросы, как я в предыдущем сообщении: а что это написала моя рука? каков смысл этого? откуда оно взялось? точно ли мы это знаем?
Сейчас, например, вот этот момент с $\sim$. Оно верно и даже очевидно, но при чём тут предыдущая строчка?

[Whitaker]

п.2 я Вам здесь объяснял

[Ketsyki]

Whitaker, да вот во второй преподу не нравится, что я написал, что частичные суммы $\sum\limits_{n=1}^\infty\cos{\frac{n}{3}}$ ограничены в совокупности. Сейчас по-другому этот момент записал, хотел узнать, правильно ли это.

Вообще, я в 1 пункте писал $ \frac{1}{3n+6} \sim \frac{1}{n} $, следовательно, ряд расходится. Но задачу вернули с фразой: "тут еще кое-чего не хватает". Не могу понять, чего именно.

[Whitaker]

Ну вообще-то $\frac{1}{3n+6}\sim\frac{1}{3n}$ при $n\to \infty$