ВТФ для $n=2$

[Yarkin]

1. Теоретические источники. Новоселов С. И. Специальный курс тригонометрии. Издание третье. «СОВЕТСКАЯ НАУКА», Москва – 1957, с. 492.
Ничего нового я выдумывать не буду, а приведу те определения из книги С. И. Новоселова, Специальный курс тригонометрии, издание третье, М., 1957 г.
Если A, B, C – вершины данного треугольника, то принято теми же буквами A, B, C обозначать его углы (а также их величины), имеющие вершинами эти точки, строчными буквами a, b, c обозначать стороны (а также их длины), противолежащие углам, обозначенным теми же прописными буквами…
Допустимые значения основных элементов треугольника определяются следующими условиями:
$1^0. A > 0, B > 0, C > 0; A + B + C =\pi.$
$ 2^0$. Всякая сторона треугольника меньше суммы двух его других сторон.
Соотношения между основными элементами треугольника
I. Т е о р е м а с и н у с о в…

$$\frac a {\sin A} = \frac b {\sin B} = \frac c {\sin C} $$

II. Т е о р е м а п р о е к ц и й…

$$a = b \cos C + c \cos B$$

$$b = c \cos A + a \cos C$$

$$c = a \cos B + b \cos A$$

III. Т е о р е м а к о с и н у с о в…

$$a^2 + b^{2} - 2ab \cos C = c^2$$

$$c^2 + a^{2} - 2ac \cos B = b^2$$

$$c^2 + b^{2} - 2bc \cos A = a^2$$

Теорема (для соотношений ). Если система шести чисел $ a, b, c, A, B, C$ удовлетворяет условиям:

$$1^0. a > 0, b > 0, c > 0$$

$$2^0. 0 < A < \pi, 0 < B < \pi, 0 < C < \pi$$

и если для нее выполняется какая-либо одна из систем соотношений (I), (II) и (III), то для нее выполняются и две другие системы этих соотношений…

Теорема (существования треугольника). Если для шести величин $a, b, c, A, B, C$ удовлетворяющих условиям:

$$1^0. a > 0, b > 0, c > 0$$

$$2^0. 0 < A < \pi , 0 < B < \pi, 0 < C < \pi $$

выполняется какая-либо одна из систем соотношений (I), (II) и (III), то существует единственный треугольник стороны которого суть a, b, c, а противолежащие им углы A, B, C (соответственно)…”, с.с. 328 – 334. В частном случае, если треугольник прямоугольный, то соотношения (III), примут вид
IV.

$$ a^2 + b^2 = c^2$$

$$ c^2 + a^{2} - 2ac \cos B = b^2$$

$$ c^2 + b^{2} - 2bc \cos A = a^2$$

2. Теорема . Не существует никакого треугольника c длинами сторон $ a, b, c, (a \ne b),$ удовлетворяющими соотношению

$$ a^2+b^2 =c^2, \eqno (2)$$

Доказательство. Допустим противное, что такой треугольник существует. Тогда, для него должны выполняться теоремы существования и эквивалентности соотношений. Проверим это. Для получения соотношения (2) во втором, третьем и первом соотношениях системы III соответственно положим

$$a = c \cos B, b = c \cos A, C = \pi/2, \eqno (3)$$

тогда все три соотношения III примут вид соотношения (2), т. е. соотношения III допускают существование прямоугольного треугольника при значениях углов $A$ и $B$, определяемых по формулам (3).
Рассмотрим теперь систему соотношений I для этого треугольника и получим из нее соотношение (2). Путем преобразований придем к следующему выражению

$$\frac a {\sin A}=\frac b {\sin B}=2c^2, \eqno (4)$$

Соотношение (4) совпадет с соотношением (2) при значениях углов

$$ A = B = \pi/4, \eqno (5)$$

но это противоречит условию теоремы $a \ne b. $
Осталось испытать для этого треугольника систему соотношений II. Подставляя в соотношения II значения углов $A, B, C,$ по формулам (3),
получим:

$$a=\frac c {\sqrt 2}, b=\frac c {\sqrt 2}, c=\frac {a+b} {\sqrt 2}, \eqno (6)$$

Из соотношений (6) убеждаемся, что соотношение (2) имеет место только при условии (5), что противоречит условию теоремы. Теорема доказана

[Алексей К.]

Yarkin в сообщении #659362 писал(а):

Рассмотрим теперь систему соотношений I для этого треугольника и получим из нее соотношение (2). Путем преобразований придем к следующему выражению

$$\frac a {\sin A}=\frac b {\sin B}=2c^2, \eqno (4)$$

Поскольку во всех предыдущих равенствах размерности были соблюдены, то получить из тех равенств эту ерунду невозможно. Как всегда, "изюминку" своего "доказательства" Вы спрятали. Путём каких преобразований можно получить такое?

Ответ типа "всё есть число, размерностей не существует" не принимается. Принимаются детали "преобразования".

[AKM]

Yarkin в сообщении #659362 писал(а):

2. Теорема . Не существует никакого треугольника c длинами сторон $ a, b, c, (a \ne b),$ удовлетворяющими соотношению

$$ a^2+b^2 =c^2, \eqno (2)$$

Существование такого треугольника всем известно. Он называется прямоугольным. Примеры: $a=1,\;b=2,\; c=\sqrt5$; $a=3,b=4,c=5$. И куча других.

Ищите сами ошибки в своих измышлениях. Тема закрывается.
К теореме Ферма обсуждаемое никакого отношения не имеет. Это называется теоремой Пифагора.
Считаю, Пургатория тема не достойна.