1. Теоретические источники. Новоселов С. И. Специальный курс тригонометрии. Издание третье. «СОВЕТСКАЯ НАУКА», Москва – 1957, с. 492.
Ничего нового я выдумывать не буду, а приведу те определения из книги С. И. Новоселова, Специальный курс тригонометрии, издание третье, М., 1957 г.
Если A, B, C – вершины данного треугольника, то принято теми же буквами A, B, C обозначать его углы (а также их величины), имеющие вершинами эти точки, строчными буквами a, b, c обозначать стороны (а также их длины), противолежащие углам, обозначенным теми же прописными буквами…
Допустимые значения основных элементов треугольника определяются следующими условиями:
![$ 2^0$ $ 2^0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/f/dbf676d8103b54dbe93de53971182c4382.png)
. Всякая сторона треугольника меньше суммы двух его других сторон.
Соотношения между основными элементами треугольника
I. Т е о р е м а с и н у с о в…
![$$\frac a {\sin A} = \frac b {\sin B} = \frac c {\sin C} $$ $$\frac a {\sin A} = \frac b {\sin B} = \frac c {\sin C} $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/5/c45dae97903c33cffe6afeb8446b54f582.png)
II. Т е о р е м а п р о е к ц и й…
![$$a = b \cos C + c \cos B$$ $$a = b \cos C + c \cos B$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/7/667e691fc2fd6e41f9114602aa0b86d182.png)
![$$b = c \cos A + a \cos C$$ $$b = c \cos A + a \cos C$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/b/afbfd9894b030acbfd496a9c3b7ad65882.png)
![$$c = a \cos B + b \cos A$$ $$c = a \cos B + b \cos A$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/2/9d252888a74dc633dd3641389085456f82.png)
III. Т е о р е м а к о с и н у с о в…
![$$a^2 + b^{2} - 2ab \cos C = c^2$$ $$a^2 + b^{2} - 2ab \cos C = c^2$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/4/ef4f2b149c11e667965397a6226d9ab282.png)
![$$c^2 + b^{2} - 2bc \cos A = a^2$$ $$c^2 + b^{2} - 2bc \cos A = a^2$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/d/3ed2392c227937bc3fa34bc1b9c15f3882.png)
Теорема (для соотношений ). Если система шести чисел
![$ a, b, c, A, B, C$ $ a, b, c, A, B, C$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/a/36a85b47822674e984a255407172be5382.png)
удовлетворяет условиям:
![$$1^0. a > 0, b > 0, c > 0$$ $$1^0. a > 0, b > 0, c > 0$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/8/fb8a396c5c537625c073e1fc7dd6cf6782.png)
![$$2^0. 0 < A < \pi, 0 < B < \pi, 0 < C < \pi$$ $$2^0. 0 < A < \pi, 0 < B < \pi, 0 < C < \pi$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/1/691e1393d1e17d8cf0cb72a2de8c416382.png)
и если для нее выполняется какая-либо одна из систем соотношений (I), (II) и (III), то для нее выполняются и две другие системы этих соотношений…
Теорема (существования треугольника). Если для шести величин
![$a, b, c, A, B, C$ $a, b, c, A, B, C$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/8/c2898e07c2accdd29eaf92ca35aab9ad82.png)
удовлетворяющих условиям:
![$$1^0. a > 0, b > 0, c > 0$$ $$1^0. a > 0, b > 0, c > 0$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/8/fb8a396c5c537625c073e1fc7dd6cf6782.png)
![$$2^0. 0 < A < \pi , 0 < B < \pi, 0 < C < \pi $$ $$2^0. 0 < A < \pi , 0 < B < \pi, 0 < C < \pi $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/d/bcd49fe28d4b2f49d8c458437dad435a82.png)
выполняется какая-либо одна из систем соотношений (I), (II) и (III), то существует единственный треугольник стороны которого суть a, b, c, а противолежащие им углы A, B, C (соответственно)…”, с.с. 328 – 334. В частном случае, если треугольник прямоугольный, то соотношения (III), примут вид
IV.
![$$ c^2 + b^{2} - 2bc \cos A = a^2$$ $$ c^2 + b^{2} - 2bc \cos A = a^2$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/7/b974661ee7820ec27685d3b7e219cb6582.png)
2. Теорема . Не существует никакого треугольника c длинами сторон
![$ a, b, c, (a \ne b),$ $ a, b, c, (a \ne b),$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/f/fff23af8182e30b7dcc2c44af405daa182.png)
удовлетворяющими соотношению
![$$ a^2+b^2 =c^2, \eqno (2)$$ $$ a^2+b^2 =c^2, \eqno (2)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/b/a8b25c542cdffc39230849116ab1e17c82.png)
Доказательство. Допустим противное, что такой треугольник существует. Тогда, для него должны выполняться теоремы существования и эквивалентности соотношений. Проверим это. Для получения соотношения (2) во втором, третьем и первом соотношениях системы III соответственно положим
![$$a = c \cos B, b = c \cos A, C = \pi/2, \eqno (3)$$ $$a = c \cos B, b = c \cos A, C = \pi/2, \eqno (3)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/d/51d8b934cc877549bde9ddd17a273b5082.png)
тогда все три соотношения III примут вид соотношения (2), т. е. соотношения III допускают существование прямоугольного треугольника при значениях углов
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
, определяемых по формулам (3).
Рассмотрим теперь систему соотношений I для этого треугольника и получим из нее соотношение (2). Путем преобразований придем к следующему выражению
![$$\frac a {\sin A}=\frac b {\sin B}=2c^2, \eqno (4)$$ $$\frac a {\sin A}=\frac b {\sin B}=2c^2, \eqno (4)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/b/a0bb2bfe0184efa3a72db1f0573806c082.png)
Соотношение (4) совпадет с соотношением (2) при значениях углов
но это противоречит условию теоремы
Осталось испытать для этого треугольника систему соотношений II. Подставляя в соотношения II значения углов
![$A, B, C,$ $A, B, C,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/9/f09d69fc0b9cb647f16ea60262a101a682.png)
по формулам (3),
получим:
Из соотношений (6) убеждаемся, что соотношение (2) имеет место только при условии (5), что противоречит условию теоремы. Теорема доказана