Отображение экспоненты

[Ward]

Здравствуйте уважаемые друзья!

Найти образ области $D=\{0<\operatorname{Re}z<\pi, \operatorname{Im}z>0\}$ при отображении $w=e^{iz}$

Моя попытка решения: Область $D$ я нарисовал, получился "бесконечный" прямоугольник. Рассмотрим его границы:
Отрезок $[0, \pi]$ при отображении $w=e^{iz}$ в единичную полуокружность $\{|w|=1, \operatorname{Im}w\geqslant 0\}$
Точки $z=ti,$ $t\geqslant 0$ при отображении $w=e^{iz}$ переходят в $(0,1]$ (точка 0 не достигается)
Точки $z=\pi+ti,$ $t\geqslant 0$ при отображении $w=e^{iz}$ переходят в $[-1,0)$ (здесь также точка 0 не достигается)
Получаем, что образом границы области $D$ будет единичная полуокружность $\{|w|=1, \operatorname{Im}w\geqslant 0\}$ и полуинтервалы $[-1,0)\cup (0,1]$
Грубо говоря, возникает "дыра" около нуля.
Подскажите пожалуйста что делать в этой ситуации.

[Ward]

помогите пожалуйста кто-нибудь с возникшим вопросом

[nnosipov]

Ward в сообщении #658956 писал(а):

Подскажите пожалуйста что делать в этой ситуации.

Да ничего не делать. Вам же нужно найти образ области, вот его и находите. Собственно, Вы его уже нашли.

[Ward]

nnosipov
меня интересует следующее:
граница должна перейти в границу, а у меня граница перешла в "границу с дыркой возле нуля". Меня этот вопрос интересует

[nnosipov]

Ward в сообщении #659231 писал(а):

граница должна перейти в границу

Это что, теорема такая есть? Приведите формулировку.

[Ward]

Может такая теорема есть.
Но ведь вокруг нуля дырка же получается?!

(Оффтоп)

я не учусь в университете. В школе еще

[nnosipov]

Ward в сообщении #659258 писал(а):

Но ведь вокруг нуля дырка же получается?!

Какая дырка имеется во внутренности полукруга? Забудьте про границу. Для Вашей функции вообще всё просто без всяких теорий о границах, ибо можно легко представить, где гуляет точка $e^{iz}$, если $z$ бегает по $D$.

[Ward]

nnosipov
да согласен!
когда $z$ гуляет по $D$, то $e^{iz}$ гуляет по $\{|w|<1, \operatorname{Im}w>0\}$
Верно?

[nnosipov]

Ward в сообщении #659280 писал(а):

Верно?

Конечно.