Построение касательной. Проективная геометрия.

[Nikiror]

Здравствуйте! Задача состоит в следующем:
Из данной точки $M$ евклидовой плоскости провести касательную к данной окружности $Q$ с помощью одной линейки.
В этой задаче 2 случая:
A) Точка $M$ не принадлежит окружности;
Б) Точка $M$ принадлежит окружности.
Нахождение касательной сходится к нахождению поляры точки. В случае А я все построил. В случае Б не могу понять, как построить касательную. Помогите, пожалуйста. Спасибо.

[TOTAL]

Nikiror в сообщении #659038 писал(а):

Из данной точки M евклидовой плоскости провести касательную к данной окружности Q с помощью одной линейки.
В этой задаче 2 случая:
A) Точка M не принадлежит окружности;
Б) Точка M принадлежит окружности.

Центр окружности известен?

[Deggial]

(Оффтоп)

предыдущее сообщение удалил, т.к. глупость написал

Точно не знаю, но попробуйте использовать предельный случай паскалева шестивершинника (т.е. если в шестивершиннике одну точку $A_i$ устремить к другой $A_j$, получим касательную $A_iA_j$).

[Nikiror]

TOTAL в сообщении #659048 писал(а):

Nikiror в сообщении #659038 писал(а):

Из данной точки M евклидовой плоскости провести касательную к данной окружности Q с помощью одной линейки.
В этой задаче 2 случая:
A) Точка M не принадлежит окружности;
Б) Точка M принадлежит окружности.

Центр окружности известен?

Я тоже думал насчет центра окружности. В задаче ничего про это не написано. Если провести диагонали четырехвершинника через центр, то получается, что стороны этого четырехвершинника будут параллельны. Не так ли?


-- 16.12.2012, 16:48 --

Deggial в сообщении #659053 писал(а):

(Оффтоп)

предыдущее сообщение удалил, т.к. глупость написал

Точно не знаю, но попробуйте использовать предельный случай паскалева шестивершинника (т.е. если в шестивершиннике одну точку $A_i$ устремить к другой $A_j$, получим касательную $A_iA_j$).

Там должно решаться попроще. Преподаватель сказала, что прямые нужно проводить не от "балды".

[TOTAL]

Nikiror в сообщении #659055 писал(а):

Я тоже думал насчет центра окружности. В задаче ничего про это не написано.

Определитесь, известен или нет.

[Nikiror]

TOTAL в сообщении #659058 писал(а):

Nikiror в сообщении #659055 писал(а):

Я тоже думал насчет центра окружности. В задаче ничего про это не написано.

Определитесь, известен или нет.

Видимо нет, т.к. в условии задачи про это ничего не сказано.

[TOTAL]

Nikiror в сообщении #659066 писал(а):

Видимо нет, т.к. в условии задачи про это ничего не сказано.

Как решали задачу а) без известного центра?

[Nikiror]

TOTAL в сообщении #659067 писал(а):

Nikiror в сообщении #659066 писал(а):

Видимо нет, т.к. в условии задачи про это ничего не сказано.

Как решали задачу а) без известного центра?

Там нужно было провести из точки $M$ 2 прямые, которые пересекают окружность. Получаем четырехвершинник. Продлеваем стороны четырехвершинника. Получаем точку их пересечения. Проводим прямую, проходящую через полученную точку и точку пересечения диагоналей четырехвершинника. Данная прямая будет пересекать окружность в 2 точках. Эти точки и будут точками касания. Соединим точки с точкой $M$. Если не понятно, то могу нарисовать.

[TOTAL]

Nikiror в сообщении #659076 писал(а):

Соединим точки с точкой $M$. Если не понятно, то могу нарисовать.

Понятно, здесь центр окружности не используется.

[Deggial]

Nikiror в сообщении #659038 писал(а):

В случае Б не могу понять, как построить касательную.

Искомая касательная является полярой $P(M)$ точки $M$, поэтому Вам нужно использовать следующее свойство:
Если поляра $P(K)$ точки $K$ проходит через точку $M$, то поляра $P(M)$ точки $M$ проходит через точку $K$. Т.е. постройте произвольную прямую, не проходящую через центр квадрики, считайте ее полярой точки, постройте точку поляры и воспользуйтесь свойством.

[Nikiror]

Deggial в сообщении #659082 писал(а):

Искомая касательная является полярой $P(M)$ точки $M$, поэтому Вам нужно использовать следующее свойство:
Если поляра $P(K)$ точки $K$ проходит через точку $M$, то поляра $P(M)$ точки $M$ проходит через точку $K$. Т.е. постройте произвольную прямую, не проходящую через центр квадрики, считайте ее полярой точки, постройте точку поляры и воспользуйтесь свойством.

Спасибо, сейчас попробую.

[TOTAL]

Nikiror в сообщении #659076 писал(а):

Там нужно было провести из точки $M$ 2 прямые, которые пересекают окружность. Получаем четырехвершинник. Продлеваем стороны четырехвершинника. Получаем точку их пересечения. Проводим прямую, проходящую через полученную точку и точку пересечения диагоналей четырехвершинника. Данная прямая будет пересекать окружность в 2 точках. Эти точки и будут точками касания. Соединим точки с точкой $M$.

б) аналогично (в обратном порядке)

Через точку $M$ проводим прямую. На этой прямой берем т. $A$ вне окружности и т. $B$ внутри окружности. Через т. $A$ проводим секущую, через две точки пересечения этой секущей и т. $B$ проводим две хорды, получая на окружности ещё две точки. Через эти две точки и точки пересечения секущей, проведенной через т. $A$, проводим две прямые, которые пересекаются в точке, через которую и т. $M$ проводим искомую касательную.

[Nikiror]

TOTAL в сообщении #659086 писал(а):

Nikiror в сообщении #659076 писал(а):

Там нужно было провести из точки $M$ 2 прямые, которые пересекают окружность. Получаем четырехвершинник. Продлеваем стороны четырехвершинника. Получаем точку их пересечения. Проводим прямую, проходящую через полученную точку и точку пересечения диагоналей четырехвершинника. Данная прямая будет пересекать окружность в 2 точках. Эти точки и будут точками касания. Соединим точки с точкой $M$.

б) аналогично (в обратном порядке)

Через точку $M$ проводим прямую. На этой прямой берем т. $A$ вне окружности и т. $B$ внутри окружности. Через т. $A$ проводим секущую, через две точки пересечения этой секущей и т. $B$ проводим две хорды, получая на окружности ещё две точки. Через эти две точки и точки пересечения секущей, проведенной через т. $A$, проводим две прямые, которые пересекаются в точке, через которую и т. $M$ проводим искомую касательную.

Большое спасибо. Ваш способ возможно правильный. Завтра попытаюсь сдать 2 этих способа. Еще раз спасибо за помощь. Тему не закрывайте, я завтра отпишусь о результате сдачи этой задачи.

[civlin]

https://www.facebook.com/photo.php?fbid=10206617528263282&set=a.10200090055000530.1073741825.1424565056&type=3&theater

Добавлено Karan: ссылка ведет на Фейсбук на иллюстрацию построения касательной к эллипсу.

[Karan]

civlin, замечание за нарушение правил размещения внешних ссылок.