Функция, квадратный трёхчлен

[Keter]

$f(x)$ - периодическая $T=1$, $\forall x \in [0; 1) \quad f(x)=x^2.$ Решить уравнение $f(2x+5)+2f(x)=1.$

Я чего-то не понимаю? Тут есть решения? Я так понимаю на каждом из промежутков вида $[n; 1+n)$ функция $\varphi (x) = f(2x+5)+2f(x)$ будет принимать минимальное значение $25$. Или нет?
_____________________

$p(x)$ - квадратный трехчлен с действительными корнями. $\forall x \in [0; 1] \quad |p(x)| \le 1.$ Доказать, что $|p'(0)| \le 8$.

$p(x)=ax^2+bx+c, p'(0)=b, |c| \le 1, |a+b+c| \le 1, b^2 \ge 4ac, b^2 \ge |4a|.$ Как мыслить?

[gris]

1. А какой период у функции $f(2x)$?

[Keter]

gris, $T/2$ ?

[gris]

Ну да, $1/2$.
Первый шаг: что делать с пятёркой.
Второй: рассмотеть уравнение на двух отрезках.

[Keter]

gris, с 5 - ничего наверное, вроде не должно же на период влиять..

[gris]

Ну а на что она вообще влияет? Напримен,

$\sin (2x+10\pi)=\sin(??)$

[Keter]

gris, $...=\sin(2x)$, то есть $f(2x+5)=f(2x)$

[gris]

Теперь пункт 2.
Уравнение же можно решать на интервале $[0,1)$, а потом к решению добавить что? Но беда, что у функции $f(2x)$ период меньше.

[Keter]

gris, эта часть мне понятна, с периодами конечно я не подумал. Ответы получились $x=\dfrac{1}{\sqrt6}+n, x=\dfrac{2}{3}+n$.

[gris]

правильно.

[Keter]

(Оффтоп)

gris, а что на счет лс? или многочлена p(x), всегда с многочленами проблемы были. Не понимал задач и все, хотя зачем оно надо

[gris]

(Оффтоп)

лучше завтра, а то уже поздно, ещё ночью приснится опять, что экзамен сдаю

[Keter]

(Оффтоп)

gris, постоянно кошмары какие-то типа вывода сумм через комплексные $\sum \sin n \varphi$

[nnosipov]

Keter в сообщении #658914 писал(а):

$p(x)$ - квадратный трехчлен с действительными корнями. $\forall x \in [0; 1] \quad |p(x)| \le 1.$ Доказать, что $|p'(0)| \le 8$.

Здесь есть по крайней мере два способа решения, один из них совершенно школьный. Кстати, если в условии задачи заменить отрезок $[0;1]$ на отрезок $[-1;1]$, станет интересней. Вообще, подобные экстремальные задачи решаются в рамках конструктивной теории функций, которая занимается вопросами наилучшего приближения функций многочленами. Примером классической задачи является задача о многочлене, наименее уклоняющегося от нуля на данном отрезке. Таким многочленом оказывается многочлен Чебышёва $T_n(x)$, который обладает и рядом других экстремальных свойств. Задача об оценке для $p'(0)$ является частным случаем неравенства А.А. Маркова для производной многочлена.

Keter в сообщении #658914 писал(а):

Как мыслить?

Прежде всего, не спешить. Откуда взялись неравенства $b^2 \geqslant 4ac$ и $b^2 \geqslant 4a$? Школьный способ решения предполагает получение оценки для коэффициента $a$, после чего оценивается сам коэффициент $b$. При этом рассматриваются оба случая расположения параболы относительно отрезка $[0;1]$ (подумайте, какие).

[gris]

А я вот немного не понял, зачем дано условие существования корней? И спрашивается о неравенстве с краю, а не на всём отрезке.
Я во сне увидел, как в прямоугольник пытаются втиснуть параболу. Наиболее естественный вариант удовлетворяет, а никаких способов увеличить значение производной не получается.
Но это так, на первый взгляд, наверное.