Слушайте, а можно более простой вопрос? Мне кажется, он прояснит ситуацию. Предположим, что так оказалось (в тех же обозначениях), что
![$A_i^j=B_i^j$ $A_i^j=B_i^j$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/b/5ebfa1de439d93335e83eed888e2d3e982.png)
для всех
![$i,j$ $i,j$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/e/4fe48dde86ac2d37419f0b35d57ac46082.png)
. Следует ли из этого, что
![$A=B$ $A=B$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/2/1a289ff9b35a1b49d65e62da9d0c1b8082.png)
?
Как тензоры они, конечно, совпадают. Но если их рассматривать как матрицы операторов, действующих каждый в своем пространстве, то эти матрицы (в стандартных базисах в каждом из пространств) будут отличаться транспонированием.
Поэтому не очень хорошо, действительно, писать
![$(A^T)^{-1}=B$ $(A^T)^{-1}=B$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/f/b2f9a1ffb344288c5c0df4332053fe6a82.png)
. Потому что, несмотря на отсутствие значков, здесь понимается не равенство инвариантных объектов (тензоров типа (1,1) или, что то же самое, операторов из пространства в себя), а их изображающих матриц в базисе и двойственном базисе соответственно.
С другой стороны, у КМ уточнено, что имеется в виду равенство матриц, и операция транспонирования была определена только для матриц.
Если рассматривать тензоры
![$A_i^j$ $A_i^j$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/9/4d9357e7ae546355825c818cc90aec4182.png)
и
![$B_i^j$ $B_i^j$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/2/882b9ec6e01e7bb2141095369049b12882.png)
как операторы из
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
в
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
, то я согласен, что
![$A=B^{-1}$ $A=B^{-1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/e/62e43e1cc9041aa5bb81070779e0e2bc82.png)
.
-- 14.12.2012, 23:50 --Думаю что та же беда будет и при альтернативном соглашении какой индекс -- верхний или нижний -- отвечает номеру строки.
Для
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
критерии разные --- Вы это учитывали? Извините, что повторяюсь.