Тензоры

[ewert]

fancier в сообщении #658396 писал(а):

я привел пример ошибочной формулы,

Она не была ошибочной. В конце-то концов: то, что матрица перехода между базисами именно контраградиентна матрице перехода между координатами -- это святое, это всем студиозусам тщательно вдалбливают (тем, разумеется, кому об этом вообще говорят).

У меня такое ощущение, что Вы путаете матричные и тензорные записи, а они, между прочим, переводятся друг в дружку не вполне дословно.

[fancier]

ewert в сообщении #658418 писал(а):

fancier в сообщении #658396 писал(а):

я привел пример ошибочной формулы,

Она не была ошибочной. В конце-то концов: то, что матрица перехода между базисами именно контраградиентна матрице перехода между координатами -- это святое, это всем студиозусам тщательно вдалбливают (тем, разумеется, кому об этом вообще говорят).

У меня такое ощущение, что Вы путаете матричные и тензорные записи, а они, между прочим, переводятся друг в дружку не вполне дословно.

Опять эти голословные высказывания. Меня убеждают только формулы. В свою очередь, я не поленился и посчитал закон преобразования векторов, как он написан в КМ, и получил абсурдный результат. Нижеследующее я не считаю аргументом, но, судя по всему, на этом форуме принято аргументировать свою точку зрения голословными утверждениями и снисходительными поучениями про студиозусов. Так вот, у меня под рукой несколько книг, где этот закон преобразования выписан: учебник Беклемишева, сборник задач под его редакцией + сборник задач под редакцией Смирнова. Во всех этих книгах фигурирует матрица перехода и обратная к ней матрица.

(Оффтоп)

P.S.: Это мое последнее сообщение на этом форуме.

[Oleg Zubelevich]

ветку особенно не читал, но

пусть $x$ -- вектор столбец (т.е. столбец координат вектора) и $y=Ax$ -- матрица линейного оператора, перходим в новые координаты $x'=Cx,\quad y'=Cy,\quad y'=A'x'$ откуда $A'=CAC^{-1}$
При этом если базисные векторы преобразуются с помощью матрицы $B$: $e_i'=B_{ij}e_j$ то $C=(B^T)^{-1}$ в записи $B_{ij}$ индекс $j$ нумерует столбцы матрицы $B$

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #658462 писал(а):

откуда $A'=CAC^{-1}$

Это так, разумеется, но тут ведь упорно талдычат (да и во всех книжках тоже) совершенно о другом. Если преобразование базиса задаётся как $(\vec e_1,\vec e_2,\ldots,\vec e_n)A$, то это -- запись неестественная. Поскольку по всем канонам матричной записи писать эту систему соотношений следует в форме $A^T(\vec e_1,\vec e_2,\ldots,\vec e_n)^T$. Ну так ровно все ровно всегда так ровно традиционно и пишут, откуда и контрградиентность.

[g______d]

fancier в сообщении #658455 писал(а):

Опять эти голословные высказывания. Меня убеждают только формулы.

$e_k'=A_k^i e_i$, $f^k'=B^k_j f^j$. У КМ написано, что $B=(A^T)^{-1}$. Чтобы придать этому равенству смысл, нужно использовать определение транспонированности, данное КМ в параграфе 1.4. То есть нужно переписать в виде $e_{k}'=\sum_i A_{ki}e_i$, $f_{k}'=\sum_i B_{ki}f_i$. Вы не согласны, что наборы чисел $\{A_{ki}\}$ и $\{B_{ki}\}$ связаны соотношением $B=(A^T)^{-1}$? Разве неправда, что утверждалось ровно это, и не более того?

fancier в сообщении #658455 писал(а):

В свою очередь, я не поленился и посчитал закон преобразования векторов, как он написан в КМ, и получил абсурдный результат.

Где Вы использовали определение транспонированности? Оно имеет смысл (по крайней мере, по определениям, введенным в этой книжке) только в матричной записи.

(Оффтоп)

fancier в сообщении #658455 писал(а):

P.S.: Это мое последнее сообщение на этом форуме.

Жаль. Не хотите --- не отвечайте, конечно.

[fancier]

Цитата:

Где Вы использовали определение транспонированности? Оно имеет смысл (по крайней мере, по определениям, введенным в этой книжке) только в матричной записи.

Распишу подробнее:
Авторы пишут: "Пусть $A^i_j$ -- матрица замены базиса в $L$: $e_k^\prime=A^i_ke_i$, полагают $B=(A^t)^{-1}$ и далее утверждают, что "Координаты $a^{\prime j}$ в базисе $\{e^\prime_j\}$ вектора, первоначально заданного координатами $a^i$ в базисе $\{ e_i\}$, будут $B_k^ja^k$."

Пример. Пусть
$A=\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix}$ Тогда $(A^{-1})^t=\begin{pmatrix} 1&0\\ -1&1\\ \end{pmatrix}$
Используя $(e_1^\prime,e_2^\prime)=(e_1,e_2)A$ получаем: $e_1^\prime =e_1,\quad e_2^\prime=e_1+e_2.$ Пусть вектор $a$ записывался столбцом $(a^1,a^2)^t$ в старом базисе, тогда используя $(a^{1\prime},a^{2\prime})^t=(A^{-1})^t(a^1,a^2)^t$ получим, что в новом он же записывается столбцом $(a^{1\prime}, a^{2 \prime})^t,$ где $a^{1\prime}=a^1,\quad a^{2\prime}=-a^1+a^2.$ Тогда имеем:

$$a^1e_1+a^2e_2\neq a^{1\prime}e_1^\prime+a^{2 \prime} e_2^\prime=a^1e_1+(-a^1+a^2)(e_1+e_2)=a^2e_1+(a^2-a^1)e_2.$$

Думаю что та же беда будет и при альтернативном соглашении какой индекс -- верхний или нижний -- отвечает номеру строки.

Все же матрица и транспонированная матрица -- разные вещи (если матрица не симметрична). Не могут быть одновременно верны и формула с обратной матрицей $B$ (как во всех известных мне источниках кроме КМ) и с обратной транспонированной.

[ewert]

fancier в сообщении #658496 писал(а):

и формула с обратной матрицей $B$ (как во всех известных мне источниках кроме КМ)

Бог мой. Но ведь во всех же, решительно во всех (ну практически) источниках матрица преобразования координат формально определяется именно как контрградиентная к матрице преобразования базиса, но никак не как просто обратная!

Конечно, это в каком-то смысле всего лишь договорённость. Но если эта договорённость общепринята -- не считаться с ней как-то нехорошо.

[fancier]

Цитата:

Но ведь во всех же, решительно во всех (ну практически) источниках матрица преобразования координат формально определяется именно как контрградиентная к матрице преобразования базиса, но никак не как просто обратная!

Видимо у нас разные источники (я только в достаточно старых книгах типа книг Г. Вейля встречал термин "контраградиентный"). Приведите, пожалуйста, список Ваших источников (своих я привел выше).

Цитата:

Конечно, это в каком-то смысле всего лишь договорённость. Но если эта договорённость общепринята -- не считаться с ней как-то нехорошо.

Хоть кто-нибудь объяснит мне, почему при использовании приведенных выше формул из КМ получается чепуха (без красивых старинных слов типа "контраградиентная матрица") ?

[g______d]

Слушайте, а можно более простой вопрос? Мне кажется, он прояснит ситуацию. Предположим, что так оказалось (в тех же обозначениях), что $A_i^j=B_i^j$ для всех $i,j$. Следует ли из этого, что $A=B$?

Как тензоры они, конечно, совпадают. Но если их рассматривать как матрицы операторов, действующих каждый в своем пространстве, то эти матрицы (в стандартных базисах в каждом из пространств) будут отличаться транспонированием.

Поэтому не очень хорошо, действительно, писать $(A^T)^{-1}=B$. Потому что, несмотря на отсутствие значков, здесь понимается не равенство инвариантных объектов (тензоров типа (1,1) или, что то же самое, операторов из пространства в себя), а их изображающих матриц в базисе и двойственном базисе соответственно.

С другой стороны, у КМ уточнено, что имеется в виду равенство матриц, и операция транспонирования была определена только для матриц.

Если рассматривать тензоры $A_i^j$ и $B_i^j$ как операторы из $V$ в $V$, то я согласен, что $A=B^{-1}$.

-- 14.12.2012, 23:50 --

fancier в сообщении #658496 писал(а):

Думаю что та же беда будет и при альтернативном соглашении какой индекс -- верхний или нижний -- отвечает номеру строки.

Для $A$ и $B$ критерии разные --- Вы это учитывали? Извините, что повторяюсь.

[Munin]

fancier в сообщении #658508 писал(а):

Хоть кто-нибудь объяснит мне, почему при использовании приведенных выше формул из КМ получается чепуха (без красивых старинных слов типа "контраградиентная матрица") ?

Обычно, если при использовании формул из учебника получается чепуха, вы чего-то неправильно делаете. Это довольно часто бывает: любой незнакомый аппарат требует времени для усвоения. Тут надо успокоиться и методично искать у себя ошибку, момент начала расхождения с учебником. Проделайте, например, выкладки из предыдущих параграфов, посмотрите, совпадают ли они с результатами в книге.

[lek]

fancier в сообщении #658508 писал(а):

Хоть кто-нибудь объяснит мне, почему при использовании приведенных выше формул из КМ получается чепуха (без красивых старинных слов типа "контраградиентная матрица")

fancier, посмотрите переработанную версию обсуждаемой книги - Кострикин А.И. "Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра" 2000. Там (гл.6, $\S1$, п.4) все подробно расписано...

[nnosipov]

Ещё один вариант изложения см. в "Лекциях по линейной алгебре" Гельфанда (гл. IV, пар. 23, п. 4).

[fancier2]

(Оффтоп)

fancier глубоко тронут откликом участников на его "зов о помощи". Однако если почитать топик внимательнее, то становится ясно, что фраза "Хоть кто-нибудь объяснит мне, почему при использовании приведенных выше формул из КМ получается чепуха?" носит исключительно риторический характер. Меня, в сущности, не сильно трогает наличие ошибочной формулы в КМ (поскольку мне известен ее правильный вариант из других источников, в т.ч. "Линейной алгебры" первого автора), мое появление в этой теме было связано с желанием предупредить начинающего о наличии указанного темного места, а дальнейший дурацкий флейм с моей стороны -- с привычкой отвечать за свои слова.

[ewert]

(Оффтоп)

fancier2 в сообщении #658685 писал(а):

Меня, в сущности, не сильно трогает наличие ошибочной формулы в КМ (поскольку мне известен ее правильный вариант из других источников, в т.ч. "Линейной алгебры" первого автора)

Да нету там никаких ошибок. Там есть лишь определённая традиция, причём крайне распространённая и вполне разумная, а почему разумная -- Вам уже несколько раз объяснили. Матрицы перехода между базисами и между координатами имеют разную"физическую" природу. И поскольку формальные правила преобразования тензоров никакого формального отношения к матричной алгебре не имеют (в том смысле, что пристегнуть одно к другому можно при желании любым способом) -- не имеет и формального значения, что для каждой из матриц считать первым индексом, а что вторым, это лишь вопрос договорённости.. Принято выбирать вариант, в котором абстрактная запись преобразований что для базисов, что для координат разворачивается в единообразные системы уравнений. Это просто проще и, соответственно, удобнее -- вот и всё, никакой глубокой философии за этим не стоит.

[apriv]

lek в сообщении #658603 писал(а):

fancier, посмотрите переработанную версию обсуждаемой книги - Кострикин А.И. "Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра" 2000. Там (гл.6, $\S1$, п.4) все подробно расписано...

Только это не «переработанная версия», а совсем другая книга, другого набора авторов и в некоторых отношениях хуже обсуждаемой (а в некоторых, видимо, лучше).