Теория вероятностей

[Henrylee]

ewert в сообщении #657100 писал(а):

[off]

Henrylee в сообщении #657087 писал(а):

даже просто угадать распределение проще, чем искать производные и перемножать многочлены Тейлора

Не проще: для угадывания нужно держать в голове некий банк формулок, много же помнить -- вредно, т.к. препятствует думанию.

Прям уж банк. Нужно знать несколько основных, а также что происходит с х.ф. при суммировании
независимых с.в.

ewert в сообщении #657100 писал(а):

[off]

Момент бесспорен: в формулировке задачи ни о каких суммах ни слова

В формулировке нет, но для тех, кто знает свойства х.ф. - появятся.
И вообще, спорность момента в том, какие свойства х.ф. применять: вычисление ли моментов с помощью дифференцирования или преобразование с последующим использованием знания х.ф. суммы с.в. и х.ф. основных распределений. Или ф. Тейлора. На мой взгляд все методы на одну и ту же тему. И все имеют право на $\exists$

[masterflomaster]

--mS-- в сообщении #657805 писал(а):

Всё так. Первый замечательный предел используйте, и избавитесь от $t$ в знаменателе. Замените синус и косинус на эквивалентные в нуле.

Вот что в итоге у меня вышло:

$ $\frac{4}{t^2}$ $\cdot e^{it} \cdot \sin^2 \frac{t}{2}$ = $g(t)$. Для нахождения математического ожидания случайной величины воспользуемся формулой: $$ M(X) = -i \cdot g'(0). $$ Для нахождения дисперсии случайной величины используем формулу: $$ D(X) = -g''(0) + (g'(0))^2. $$ Найдем необходимые нам производные: $$ g'(t) = \frac{4 \cdot e^{it} \cdot \sin(t/2)((it-2) \cdot \sin(t/2)+t \cdot \cos(t/2))}{t^3} $$ $$ g''(t) = \frac{-2 \cdot e^{it} \cdot (-i^2 \cdot t^2+(i^2 \cdot t^2-4 \cdot i\cdot t-t^2+6) \cdot}{} $$ $$ \frac{\cdot \cos(t)+4 \cdot i \cdot t-2 \cdot t \cdot (i \cdott -2) \cdot \sin(t)-6)}{t^4} $$ Перейдем к рассмотрению функций в окрестности точки $t = 0$: $$ \lim_{x\to 0} = \frac{4 \cdot e^{it} \cdot \sin(t/2)((it-2) \cdot \sin(t/2)+t \cdot \cos(t/2))}{t^3} = i; $$ $$ \lim_{x\to 0} = \frac{-2 \cdot e^{it} \cdot (-i^2 \cdot t^2+(i^2 \cdot t^2-4 \cdot i \cdot t-t^2+6) \cdot }{} $$ $$ \frac{ \cdot \cos(t)+4 \cdot i \cdot t-2 \cdot t \cdot (i \cdot t-2) \cdot \sin(t)-6)}{t^4} = -\frac{1}{6} + i^{2} = -1\frac{1}{6} $$ Теперь, узнав неизвестные, подставим их в формулы и найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины: $$ M(X) = -i \cdot i = 1. $$ $$ D(X) = 1\frac{1}{6} + i^{2} = 1\frac{1}{6} - 1 = \frac{1}{6}. $$$

-- 14.12.2012, 16:27 --

Верно я все сделал?

[ewert]

Во всяком случае, ответ правильный:

$$g(t)=\frac2{t^2}e^{it}(1-\cos t)=\frac2{t^2}\left(1+it-\frac{t^2}2+O(t^3)\right)\left(\frac{t^2}2-\frac{t^4}{24}+O(t^6)\right)=1+it-\frac{t^2}2-\frac{t^2}{12}+O(t^3),$$

откуда $g'(0)=i$ и $g''(0)=2\left(-\frac12-\frac1{12}\right)=-\frac76$.

[masterflomaster]

Огромное вам спасибо))

[Deggial]

masterflomaster, нежелательно использовать ТеХ так, как Вы сделали в предпоследнем сообщении (хотя бы просто потому, что картинка больше весит). Формулы оформляйте ТеХом, а текст - как обычно.

[masterflomaster]

Понял.