Теория вероятностей

[masterflomaster]

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, характеристическая функция которой равна $\frac{4}{t^{2}}\cdot e^{it}\cdot\sin^2\frac{t}{2}$


Пусть наша функция $g(t)$, тогда $g(t) = M[e^{itX}]$, где $X$ - случайная величина.
$g(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itX} f(x) dx $
Дальше что делать не знаю. Нашел такую формулу: $M(X) = -i\cdot g'(0)$. Верна ли она???

[--mS--]

Нет, не верна. Ищите верные формулы, в том числе про остальные производные.

(Оффтоп)

Обычно там, где знают слова "характеристическая функция", знают, что делает $x$ под интегралом...

[masterflomaster]

Может воспользоваться обратным преобразованием Фурье:
$ f(x) = 1/(2\pi)\int_{-\infty}^{\infty} e^{-itX}g(t)dt$
где $g(t)$ изначально данная нам функция.

Затем, зная $f(x)$, подставим его в формулу для мат.ожидания:
$ M(X) = \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)$

Верно?

[--mS--]

Нет, не надо пользоваться никакими обратными преобразованиями. Надо изучить материал и найти, как связаны моменты и производные х.ф.

[ewert]

masterflomaster в сообщении #656855 писал(а):

Нашел такую формулу: $M(X) = -i\cdot g'(0)$. Верна ли она???

Верна.

masterflomaster в сообщении #656855 писал(а):

$g(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itX} f(x) dx $

Это тоже было бы верным, если бы не путаница с обозначениями иксов. А вот нужно ли это -- зависит от того, собираетесь ли Вы использовать готовые формулы или выводить эти формулы на коленке.

Кстати, производные той характеристической функции в общем виде выписывать, конечно, не следует. Надо просто выписать несколько первых членов формулы Тейлора, перемножая стандартные разложения.

[--mS--]

И даже если ТС собирается выводить формулы для производных, обратное преобразование Фурье ему никак не понадобится. А ряд Тейлора, видимо, у физиков возникает до производных

[ewert]

--mS-- в сообщении #657017 писал(а):

А ряд Тейлора, видимо, у физиков возникает до производных

Физики -- вообще очень странные люди: они предпочитают выирать математический аппарат в порядке его эффективности применительно к конкретной задаче, а не в порядке упоминания в учебной программе.

Кстати, речь шла не о ряде Тейлора.

[--mS--]

Ну так выпишите ТС готовый ответ: по эффективности применительно к конкретной задаче с этим ничто не сравнится.

И, извините, терминологические изыски на тему "формул" vs "рядов" Тейлора здесь ни к чему абсолютно.

(Оффтоп)

Стоит ли гордиться тем, что телега впереди лошади, только за то, что это новаторски отрицает учебную программу?

[Henrylee]

Раз уж на то пошло, то даже просто угадать распределение проще, чем искать производные и перемножать многочлены Тейлора

Спорный момент, на отыскание призводных ли это упражнение или нужно показать сумма каких распределений имеется в виду

[--mS--]

(Оффтоп)

Ну только не для человека, который сутки назад спрашивал, что такое $x$ под интегралом.

[ewert]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #657083 писал(а):

терминологические изыски на тему "формул" vs "рядов" Тейлора здесь ни к чему абсолютно.

Вы перепутали: эти изыски не терминологические, а идеологические. За формулой Тейлора стоит совершенно иная идеология, нежели за рядом Тейлора. И не случайно во всех стандартных рабочих программах формула Тейлора идёт намного, намного раньше ряда Тейлора. А теория вероятностей -- между прочим, ещё много позже и производных, и формулы Тейлора, и даже ряда. Так что к этому моменту студент уже вполне в состоянии выбрать технические средства, наиболее адекватные поставленной задаче (но, разумеется, лишь при условии,что он понимает точный математический смысл этих средств).

Что же до критериев адекватности -- то тут, разумеется, кому арбуз, а кому свиной хрящик. Кому-то нравится строгое получение правильного результата в две строчки, а кому-то -- в двенадцать (ибо последнее солиднее). Тут уж дело вкуса.

-- Вт дек 11, 2012 19:59:47 --

Henrylee в сообщении #657087 писал(а):

даже просто угадать распределение проще, чем искать производные и перемножать многочлены Тейлора

Не проще: для угадывания нужно держать в голове некий банк формулок, много же помнить -- вредно, т.к. препятствует думанию.

Henrylee в сообщении #657087 писал(а):

Спорный момент, на отыскание призводных ли это упражнение или нужно показать сумма каких распределений имеется в виду

Момент бесспорен: в формулировке задачи ни о каких суммах ни слова, требуется лишь тупо дать формальный ответ. И уж точно это задачка не на дифференцирование -- это к этому моменту давно уж проехано. К этому моменту не можешь обойтись без формального дифференцирования -- парься; можешь -- выписывай мгновенно и переходи к следующим задачкам.

[--mS--]

(Оффтоп)

Призывать к адекватности, видимо, бессмысленно.

[masterflomaster]

Спасибо за размышления, нужно получше углубиться в теорию, много пищи для размышления. Но все-таки, по-моему, это было немного лишним:

--mS-- в сообщении #657089 писал(а):

(Оффтоп)

Ну только не для человека, который сутки назад спрашивал, что такое $x$ под интегралом.

Что получится - напишу.

[masterflomaster]

ewert в сообщении #656934 писал(а):

masterflomaster в сообщении #656855 писал(а):

Нашел такую формулу: $M(X) = -i\cdot g'(0)$. Верна ли она???

Верна.

Я решил воспользоваться готовой формулой.
Тогда дисперсия случайной величины равна:
$D(X) = -g''(0) + (g'(0))^2$.
Первая производная равна:
$(4e^{it}\sin(t/2)((it - 2)\sin(t/2) + t\cos(t/2)))/t^3$

Мы рассматриваем функцию в окрестности точки t=0, но в производной происходит деление на 0. Что сделано не так?

[--mS--]

Всё так. Первый замечательный предел используйте, и избавитесь от $t$ в знаменателе. Замените синус и косинус на эквивалентные в нуле.

Вычислять производные в нуле можно было куда как проще, следуя совету ewert: выписать несколько членов ряда Тейлора в нуле, вот и производные нуле готовы.