Автоморфизм круга

[Ward]

Здравствуйте!

Доказать, что общий вид дробно-линейного отображения круга $|z|<1$ на круг $|w|<1$ дается формулой $w=e^{i\theta}\dfrac{z-a}{1-z\bar{a}}$, где $a$ - произвольная точка круга $|z|<1$, a $\theta$ - произвольная действительная постоянная.

Разбираю доказательство этого факта из книги Шабата "Введение в комплексный анализ"
Пусть некоторая точка $a$ из круга $|z|<1$ переходит в центр окружности $|w|<1$, т.е. в 0, тогда по свойству сохранения симметричных точек симметричная точка к $a$ относительно окружности, а именно $a^{*}=1/{\bar{a}}$ перейдет в $\infty$. Поэтому искомое отображение должно иметь вид

$$w=k\dfrac{z-a}{z-1/{\bar{a}}}=k_1\dfrac{z-a}{1-\bar{a}z}$$

Я не совсем понимаю откуда они сразу получили явный вид соотношения?
Ведь еще нужно например найти образ некоторой третьей точки и использовать "двойное отношение"

$$\dfrac{z-z_1}{z-z_2}\cdot\dfrac{z_3-z_2}{z_3-z_1}=\dfrac{w-w_1}{w-w_2}\cdot\dfrac{w_3-w_2}{w_3-w_1}$$

Они так сделали да?
Объясните пожалуйста.

[ewert]

Ward в сообщении #658330 писал(а):

Я не совсем понимаю откуда они сразу получили явный вид соотношения?

Числитель (с точностью до общего множителя) следует из того, что $a$ переходит в ноль, а знаменатель -- из того, что $a^{*}=1/{\bar{a}}$ переходит в $\infty$. После чего все общие множители объединены в $k$ и затем в $k_1$.

[Ward]

ewert
Спасибо Вам за постоянную помощь! Теперь понятней стало.