Равномерная сходимость

[Chernoknizhnik]

Неожиданно вызвала затруднение следующая задача (торможу конкретно, если кратко). Верно ли, что если $x_{n}\rightarrow x$ в $C[0,1]$ (т.е. равномерно), а $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ - непрерывная функция, то $f x_{n}\rightarrow f x$ равномерно (имеется в виду суперпозиция функций)? Если $f$ - липшицева функция, т.е. для некоторого $k$ и для всех $x$ и $y$ $|f(x)-f(y)|\le k|x-y|$, то утверждение очевидно; если же $f$ равномерно непрерывна (что в меньшей степени сужает класс функций, чем условие Липшица), то тоже несложно. Вот как быть с произвольной непрерывной функцией $f$?

[ewert]

Chernoknizhnik в сообщении #658008 писал(а):

Вот как быть с произвольной непрерывной функцией $f$?

А она и не произвольна -- она фактически задана лишь на ограниченном промежутке (в котором содержатся образы всех иксов).

[Chernoknizhnik]

Ну конечно (спокойно так). Спасибо!