Функция Жуковского

[patrickj]

Такая задача:
Отобразить на верхнюю полуплоскость область $|z|>1, \operatorname{Im}z>0$ с разрезом вдоль луча $[2i;+\infty]$

Функция Жуковского область $|z|>1,\operatorname{Im}z>0$ отображает на верхнюю полуплоскость $\operatorname{Im}w>0$.
Здесь есть разрез, ума не приложу, что с ним сделать.
Подскажите, пожалуйста, с чего начать.

[Deggial]

patrickj, как набирать формулы, читайте тут. В частности:

\infty, \Im, \operatorname{Im}

$\infty, \Im, \operatorname{Im}$
Также, чтобы увидеть код написанных формул, наводите на них мышкой.

[Утундрий]

Разрез идет вдоль мнимой оси?

[patrickj]

Утундрий в сообщении #657657 писал(а):

Разрез идет вдоль мнимой оси?

Да. начиная с $2i$ и в верх.

[Утундрий]

Ну, чудно. Смело применяйте к означенной области сабдж и всенепременнейшео тпишитесь, что получится.

[ewert]

patrickj в сообщении #657572 писал(а):

Здесь есть разрез, ума не приложу, что с ним сделать.

Тупое решение: после возведения в квадрат отсутствующая полуплоскость схлопнется в ещё один разрез. Останется только сцепить эти два бесконечных разреза с помощью инверсии и т.д.

[patrickj]

Утундрий в сообщении #657718 писал(а):

Ну, чудно. Смело применяйте к означенной области сабдж и всенепременнейшео тпишитесь, что получится.

Применяю Функцию Жуковского.
Каждую границу отображаю отдельно.
$z = r\cdot e^{i\cdot \varphi}$
$u = \frac 1 2\cdot(r + \frac 1 r)\cdot \cos(\varphi)$

$v = \frac 1 2 \cdot (r - \frac1 r) \cdot \sin(\varphi)$
Без разреза наша область отображается в $\operatorname{Im}w > 0$

Я не знаю, как отображать разрез. Если просто, как вектор $\arg\varphi = \frac \pi 2$ и $r$ от $2$ до $+\infty$, то он отображается в разрез $\arg\varphi = \frac \pi 2$ и $r$ от $\frac 3 4$ до $+\infty$

Правильно, ли я отобразил. Что дальше можно сделать?

[ewert]

patrickj в сообщении #658031 писал(а):

Правильно, ли я отобразил. Что дальше можно сделать?

Правильно. Дальше -- возводите в квадрат и делайте инверсию.

[patrickj]

ewert в сообщении #658034 писал(а):

patrickj в сообщении #658031 писал(а):

Правильно, ли я отобразил. Что дальше можно сделать?

Правильно. Дальше -- возводите в квадрат и делайте инверсию.

Я так понял, что при возведении в квадрат мы получим все плоскость с двумя разрезами:
1.$r$ от $\infty$ до $\frac 9 {16}$ и $\arg\varphi = \pi$
2.$r$ от $0$ до $+\infty$ и $\arg\varphi = 0$
Скажите, пожалуйста, а как инверсию делать?

[ewert]

patrickj в сообщении #658046 писал(а):

а как инверсию делать?

Подсказка: два таких разреза на расширенной комплексной плоскости фактически образуют один разрез, проходящий через бесконечно удалённую точку.

[patrickj]

ewert в сообщении #658050 писал(а):

patrickj в сообщении #658046 писал(а):

а как инверсию делать?

Подсказка: два таких разреза на расширенной комплексной плоскости фактически образуют один разрез, проходящий через бесконечно удалённую точку.

Не доходит. Наверно плохо понял инверсию. Почитал литературку ещё раз. Все равно ничего.

[patrickj]

Нашел похожий пример. Там тоже вся область, только разрезы вдоль действительной оси $[-\infty;-1]$ до $[1;+\infty]$
Инверсию там строили таким образом: точку $-1$ отображали в $\infty$, а точку $1$ - в $0$, то есть

$w = \frac {z - 1} {z + 1}$

Только не пойму, почему разрез теперь оказывается справа от оси $OY$?

В моем случае, если делать по аналогии, то точку $-\frac 9 {16} $ необходимо отобразить в $\infty$.
После этого разрез оказывается справа от оси $OY$ и мы можем брать корень.

[ewert]

patrickj в сообщении #658127 писал(а):

точку $-\frac 9 {16} $ необходимо отобразить в $\infty$.

Гораздо проще отобразить туда ноль (тем более что обе точки-то геометрически равноправны).

[patrickj]

ewert
Можете, пожалуйста, объяснить, почему именно так?

[ewert]

Ну я же уж практически всё разжевал и даже почти в рот положил. Далее полезно немножко и подумать.