Нелинейное уравнение с двумя переменными

[valerqch]

Решить уравнение с двумя переменными в положительных целых числах: $2008x+2014y+9=xy$

Мои мысли:
В левой части равенства - нечётное число.
Следственно x и y можно представить следующим образом: $x=2k-1$ и $y=2n-1$ где $n,k \in Z^+$

Подставляем в исходное уравнение:

$4016k-2008+4028n-2014+9=4kn-2k-2n+1 \Rightarrow 2009k+2015n-2011=2kn-4 \Rightarrow 2009k+2015n=2kn+2007$

Отсюда имеем: k и n имеют разную чётность.
И одну, быть может, полезную форму:

$2009k+2015n=2kn+2007 \Rightarrow 2009k-kn+2015n-kn=2007 \Rightarrow k(2009-n)+n(2015-k)=2007$

Подскажите пожалуйста, что дальше с этим можно сделать?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: перенес в соответствующий раздел

[nnosipov]

Соображения чётности здесь не очень помогают. Лучше выразите из уравнения $y$ через $x$ и проанализируйте получившееся выражение.

[Deggial]

valerqch в сообщении #657506 писал(а):

Решить уравнение с двумя переменными в положительных целых числах: $2008x+2014y+9=xy$

Выделите квадратичную форму.

[TOTAL]

$(x-2014) \cdot (y-2008)=9+2014 \cdot 2008$
А если так переписать?

[valerqch]

TOTAL в сообщении #657517 писал(а):

$(x-2014) \cdot (y-2008)=9+2014 \cdot 2008$
А если так переписать?

То $(x-2014) \cdot (y-2008)=2011^2 и ввиду того, что 2011 - простое число получаем два элементарных уравнения.

$x-2014=2011 \Rightarrow x=4025

$y-2008=2011 \Rightarrow y=4019

Спасибо большое!

[Slip]

valerqch в сообщении #657526 писал(а):

получаем два элементарных уравнения

не два, еще может быть, что одна из скобок равна 1.