бесконечная система дфференциальных уравнений

[Oleg Zubelevich]

Пусть $P_{m}:l_\infty\to l_\infty,\quad m=(k_1,\ldots,k_n)$ -- проектор на попространство состоящее из векторов, у которых все компоненты с индексами не принадлежащими множеству $\{k_1,\ldots, k_n\}$ нулевые

Рассмотрим начальную задачу для бесконечной системы ДУ

$$\dot x_k=a_k(t,P_{m_k}x)x_k+1,\quad x_k(0)=0,\quad x=\{x_j\}_{j\in\mathbb{N}}\in l_\infty$$

Предположим, что $| a_k(t,P_{m_k}x)|\le C$ при вех $t\ge 0,\quad x\in l_\infty,\quad k\in\mathbb{N}$
и $a_k(\cdot,P_{m_k}\cdot)\in C([0,\infty)\times l_\infty)$.

Доказать, что при любом $T>0$ данная задача имеет решение $x(t)\in C^1([0,T],l_\infty)$

[Oleg Zubelevich]

В формулировке задачи должно быть: доказать, что при любом $T>0$ задача имеет решение $x_k(t)\in C^1[0,T],\quad k\in\mathbb{N}$

[sup]

Забавная задача! Формулировка оригинальная.
Но, как мне кажется, не слишком олимпиадная. Все довольно стандартно: "отрезаем" хвост, теорема Пеано, далее компактность каждой компоненты в $C[0,T]$ (поскольку выполнено условие Липшица с одной и той же константой), диагональный процесс, ну и тд.

[Oleg Zubelevich]

не понял, отрезаем хвост, в оставшуюся систему входят иксы из отрезанного хвоста, не понял вообщем как Вы существование доказываете

[sup]

Рассмотрим произвольное $n >0$. "Отрежем" хвост - просто для $k>n$ вместо дифф. уравнения полагаем
$x_k =0$
Да вообще можно приравнять к чему угодно.
Получится система относительно конечного количества переменных. Разрешаем ее. Потом устремляем $n \to \infty$.

[Oleg Zubelevich]

ok
а если считать что $| a_k(t,P_{m_k}x)|\le C_k$
хотя даже без этого непонятно как потом сходимость такого процесса доказывать

[sup]

А что от этого меняется? Я же каждую компоненту по отдельности рассматриваю.

[Oleg Zubelevich]

а как Вы сходимость доказывать будете даже если константа на всех одна

[sup]

Что значит как доказывать сходимость? Фиксируем номер компоненты. Последовательность (по $n$) компактна в $C[0,T]$. Поэтому можно выбрать сильно сходящуюся подпоследовательность. Далее диагональным процессом выделяем последовательность номеров так, чтобы на ней сходилась любая компонента. Ну а далее дифф. уравнение эквивалентно интегральному. Ну а для него покомпонентной сходимости уже достаточно.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #657370 писал(а):

то значит как доказывать сходимость? Фиксируем номер компоненты. Последовательность (по $n$) компактна в $C[0,T]

у Вас последовательность у которой каждый элемент лежит в пространстве все большей размерности, про компактность подробнее пожалуйста

[sup]

Рассмотрим $x_k^n(t)$, где $k$ - фиксированный номер компоненты.
Теперь пусть $n \to \infty$. В силу условия Липшица из этой последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Это все никак не зависит от других компонент. Чтобы все это свести к одной и той же подпоследовательности индексов $n_j$ применяем диагонализационный процесс.

(Оффтоп)

извините за сбивчивый ответ - надо убегать

[Oleg Zubelevich]

ok

[Oleg Zubelevich]

$$\dot x_k=a_k(t,P_{m_k}x)x_{k+1}+1,\quad x_k(0)=0,\quad x=\{x_j\}_{j\in\mathbb{N}}\in l_\infty$$

так лучше?

[sup]

Да, так интереснее. Но если все $a_k$ равномерно ограничены константой $C$, то снова легко получить оценку
$|x_k(t)| \leqslant te^{Ct}$
А дальше все точно так же. А вот если нет равномерной ограниченности ... Надо подумать.

[Oleg Zubelevich]

$$\dot x_k=a_k(t,P_{m_k}x)x_{k+1}+1,\quad x_k(0)=0,\quad |a_k(t,P_{m_k}x)|\le k-c,\quad c>0$$

теорема существования: $x_k(t)\in C^1[0,1),\quad k\in\mathbb{N}$