бесконечная система дфференциальных уравнений

[sup]

У меня вроде бы получилось чуть сильнее:
$|a_k(t,P_{m_k}x)| \leqslant k(1+ o(1))$
Вот, кстати, походу возникла любопытная задачка
Пусть ряд с положительными членами сходится: $c_n \geqslant 0$, $\sum \limits_n c_n < \infty$
Доказать, что

$$\lim \limits_{n \to \infty} n!\prod \limits_{k \leqslant n}c_k = 0$$

[Oleg Zubelevich]

а Вы тоже не смогли за единицу решение продолжить?

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #657810 писал(а):

Пусть ряд с положительными членами сходится: $c_n \geqslant 0$, $\sum \limits_n c_n < \infty$
Доказать, что

$$\lim \limits_{n \to \infty} n!\prod \limits_{k \leqslant n}c_k = 0$$

более того,

$$\lim \limits_{n \to \infty} \Big(n!\prod \limits_{k \leqslant n}c_k\Big)^{1/n} = 0$$

Действительно,

$$\Big(n!\prod \limits_{k \leqslant n}c_k\Big)^{1/n} =\Big(\prod \limits_{k \leqslant n}kc_k\Big)^{1/n} \le\sum_{k=1}^n\frac{k}{n}c_k=\sum_{k=1}^{\sqrt n}\frac{k}{n}c_k+\sum_{k=\sqrt n}^n\frac{k}{n}c_k\le O(1/\sqrt n)+\sum_{k=\sqrt n}^nc_k$$

пардон за небольшое хулиганство

[sup]

Насчет задачки. Ну действительно просто. Я тоже использовал неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим и асимптотику факториала (но в другой редакции). Меня удивило то, что я раньше с таким "естественным" пределом не встречался (явное сравнение с гармоническим рядом, но в несколько "экзотической" форме)

Насчет продолжаемости за 1. В некоторых случаях это невозможно. Рассмотрим систему
$\dot x_k = c_kx_{k+1} + 1$
$x_k(0) = 0$
Пусть $c_k > 0$ - некие константы.
В этих соотношениях по сути нет ничего от дифф. уравнений. Интегрируя, легко получаем цепочку неравенств
$x_1 \geqslant t$, $x_2 \geqslant t$ , $x_3 \geqslant t$, $\dots$
$x_1 \geqslant t + c_1\frac {t^2}{2!}$,
$x_2 \geqslant t + c_2\frac {t^2}{2!}$, $\dots$
$x_1 \geqslant t + c_1\frac {t^2}{2!} + c_1c_2\frac {t^3}{3!}$, $\dots$
$\dots$
Получается степенной ряд. Осталось найти радиус сходимости. (Вот примерно отсюда и возникла та задачка ). Ну а дальше уже дело техники.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #658206 писал(а):

Интегрируя, легко получаем цепочку неравенств
$x_1 \geqslant t$, $x_2 \geqslant t$ , $x_3 \geqslant t$, $\dots$

видимо, первое неравенство вытекает из того, что $x_2(t)\ge 0$, а почему это верно?

[sup]

Хм, вообще говоря, это вопрос ... Можно ли неким выбором констант $c_k$ в такой системе заставить переменные $x_k$ стать отрицательными. В каждом уравнении в правой части стоит 1, что гарантирует положительность этой правой части на некотором интервале. А следовательно и соответствующая компонента будет положительной (производная больше 0). И так для каждой компоненты (хотя величина этого интервала может и уменьшаться с ростом номера). Все это выглядит слишком фантастичным, но кто знает ...
С другой стороны, при определенных условиях легко оценить вклад, скажем, $x_{n+1}$ в $x_1$. Пусть на некотором интервале $[0,T]$ справедливо неравенство $|x_n| < A$. Тогда на этом интервале
$x_{n} \geqslant (1-c_{n}A)t$
$x_{n-1} \geqslant t + c_{n-1}(1-c_{n}A)\frac {t^2}{2!}$
$x_{n-2} \geqslant t + c_{n-2}\frac {t^2}{2!}+ c_{n-2}c_{n-1}(1-c_{n}A)\frac {t^3}{3!}$

$\dots$

Ясно, что в конце концов для $x_1$ получится точно такой же ряд как и выше, но с некой добавкой вида $O(1+A)\frac {\prod c_k}{n!}t^{n}$
При условиях $c_k = k(1+o(1))$ эта добавка стремится к 0 с ростом номера $n$ (при $t<1$).
Фактически мы получили точное решение в виде ряда.
Аналогичные оценки справедливы и для других компонент (уравнения в сущности инвариантны относительно сдвига номеров).
Отсюда следует справедливость неравенств для решений ограниченных в $l_{\infty}$.

(Оффтоп)

Можно, конечно, и дальше повозиться с этими неравенствами, но какой смысл?

-- Пт дек 14, 2012 16:54:06 --

С другой стороны величина $A$ сама зависит от $n$ и может расти. Короче нужна уже более точная постановка задачи. В том числе и класс допустимых решений. А так это все как-то неопределенно получается.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #658277 писал(а):

Отсюда следует справедливость неравенств для решений ограниченных в $l_{\infty}$.

если таковые существуют

sup в сообщении #658277 писал(а):

ожно, конечно, и дальше повозиться с этими неравенствами, но какой смысл?

смысла особенно нет, есть метод, который я тестирую на разных задачках, хочу откопать содержательный пример
в этой задаче у меня получается теорема существования с оценкой $|x_k(t)|\le (1-t)^{-k}$ , это если $|a_k(t,x)|\le k$
если $0\le a_k(t,x)\le k$ то существует решение с неотрицательными компонентами

sup в сообщении #658277 писал(а):

Короче нужна уже более точная постановка задачи. В том числе и класс допустимых решений.

я решаю эту задачу в $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ с тихоновской топологией