Нестандартные задачи

[worm2]

Руст писал(а):

Непонятно, откуда появилось такое решение.

В моём решении есть изъян: я его получил не без помощи компьютера.
$mn|(m^2+m+n^2+n)$, значит, $mn|(m^2+m+n^2+n + 2mn) = (m+n)(m+n+1)$. Пусть НОД(m,n)=a, m=ap, n=aq. Получаем: apq | (p+q)(ap+aq+1), откуда a | (p+q). Предположив, что решение возможно при a = p+q (т.е. m=p(p+q), n=q(p+q)), получаем, что $pq|((p+q)^2+1)$, откуда, имея в виду, что p и q взаимно просты, получаем систему: $q|p^2+1$, $p|q^2+1$.
Первые 3 решения этой системы (1,2), (2,5), (5,13) я нашёл вручную. Потом подключил компьютер и нашёл ещё: (13,34) и (34,89). Как человек, претендующий на звание культурного, я помню первые 12 членов последовательности Фибоначчи наизусть , поэтому я её сразу узнал. Остальное --- дело техники.

Руст писал(а):

Обозначив $k=\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}$, вначале убеждаемся, что натуральное решение имеется только при k=3 (в целых получается так же при k=1).

(1+1)/2+(2+1)/1=4.

[Руст]

Точнее возможны k=4,k=3,k=1,k=0. Последние с отрицательными целыми. А бесконечную серию решений могут дать только k=3 - для натуральных и k=1 бесконечная серия с отрицательными целыми.

[student]

worm2 писал(а):

Руст писал(а):

Непонятно, откуда появилось такое решение.

В моём решении есть изъян: я его получил не без помощи компьютера.
$mn|(m^2+m+n^2+n)$, значит, $mn|(m^2+m+n^2+n + 2mn) = (m+n)(m+n+1)$. Пусть НОД(m,n)=a, m=ap, n=aq. Получаем: apq | (p+q)(ap+aq+1), откуда a | (p+q). Предположив, что решение возможно при a = p+q (т.е. m=p(p+q), n=q(p+q)), получаем, что $pq|((p+q)^2+1)$, откуда, имея в виду, что p и q взаимно просты, получаем систему: $q|p^2+1$, $p|q^2+1$.
Первые 3 решения этой системы (1,2), (2,5), (5,13) я нашёл вручную. Потом подключил компьютер и нашёл ещё: (13,34) и (34,89). Как человек, претендующий на звание культурного, я помню первые 12 членов последовательности Фибоначчи наизусть , поэтому я её сразу узнал. Остальное --- дело техники.

Можно и без Фибоначи!
1. Если пара $(a,b)$ удовлетворяет систему $q|p^2+1$, $p|q^2+1$, тогда $(a, \frac{a^2+1}{b})$ и $(b,a)$ также удовлетворяют эту систему!
2. Если $a\geq b$ то $\frac{a^2+1}{b}>a$
Отсюда следует что из пары $(1,1)$ можно построит последовательность возрастающих решений данной системы!

[Батороев]

Руст писал(а):

Точнее возможны k=4,k=3,k=1,k=0. Последние с отрицательными целыми. А бесконечную серию решений могут дать только k=3 - для натуральных и k=1 бесконечная серия с отрицательными целыми.

По-моему, и такой ряд бесконечен:
$ \frac{1+1}{2} + \frac{2+1}{1} = 4 $
$ \frac{2+1}{6} + \frac{6+1}{2} = 4 $
$ \frac{6+1}{21} + \frac{21+1}{6} = 4 $
$ \frac{21+1}{77} + \frac{77+1}{21} = 4 $
$ \frac{77+1}{286} + \frac{286+1}{77} = 4 $
$ \frac{286+1}{1066} + \frac{1066+1}{286} = 4 $
$ \frac{1066+1}{3977} + \frac{3977+1}{1066} = 4 $
. . . . . .

student писал(а):

Отсюда следует что из пары $ (1, 1) $ можно построить последовательность возрастающих решений данной системы!

Кстати, вышеприведенное из $ (1,1) $ только и можно построить.
А вот то, о чем писал Руст, т.е. к = 3 строится из $ (2, 2) $.
Т. е. полное решение задачи - это решение student'a + решение Руста

[student]

Докажите, что при любых неотрицательных числах $a,b,c$ выполняется неравенство:
$(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(b^5-b^2+3)\geq (a+b+c)^3$

[Руст]

Батороев писал(а):

Руст писал(а):

Точнее возможны k=4,k=3,k=1,k=0. Последние с отрицательными целыми. А бесконечную серию решений могут дать только k=3 - для натуральных и k=1 бесконечная серия с отрицательными целыми.

По-моему, и такой ряд бесконечен:
$ \frac{1+1}{2} + \frac{2+1}{1} = 4 $
$ \frac{2+1}{6} + \frac{6+1}{2} = 4 $
$ \frac{6+1}{21} + \frac{21+1}{6} = 4 $
$ \frac{21+1}{77} + \frac{77+1}{21} = 4 $
$ \frac{77+1}{286} + \frac{286+1}{77} = 4 $
$ \frac{286+1}{1066} + \frac{1066+1}{286} = 4 $
$ \frac{1066+1}{3977} + \frac{3977+1}{1066} = 4 $
quote]
Действительно. Я уже выбросил кусочек бумаги, где решал задачу. Вначале получал (k-2)|2
k=1 и k=0 только с отрицательными получаются. Почему выбросил k=4 уже не помню.

[neo66]

student писал(а):

Докажите, что при любых неотрицательных числах $a,b,c$ выполняется неравенство:
$(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3)\geq (a+b+c)^3$

Боюсь, что без исследования функции $f(x)=x^5-x^2+3, x\geq 0,$ не обойтись .
---------------------------------------------------------
1) $f(x) \geq 3x, x\geq 0$
2) $f(x)$ монотонно убывает от 0 до $\sqrt[3]{\frac{2}{5}}$, далее монотонно возрастает.
3) $\ln f(x)$- выпукла при $x\geq \sqrt[3]{\frac{2}{5}} $. Действительно, $(\ln f(x))^{''} = \frac{f^{''}f - f{'}}{f^2}$. Но, $f^{''}f - f{'}} = (x^5-x^2+3)(20x^3 - 2) - x(5x^3 - 2) \geq 0.$
--------------------------------------------------------
Из 2) следует, что достаточно доказать наше неравенство, считая, что $a,b,c\geq \sqrt[3]{\frac{2}{5}}$

Далее, имеем:

$\frac {\ln f(a)+\ln f(b)+\ln f(c)}{3} \geq \ln f(\frac {a+b+c}{3})} \geq \ln (a+b+c)$,

где первое неравенство - следствие выпуклости, а второе - свойства 1).
А это и есть наше неравенство, только прологарифмированное.

[arqady]

student писал(а):

Докажите, что при любых неотрицательных числах $a,b,c$ выполняется неравенство:
$(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(b^5-b^2+3)\geq (a+b+c)^3$

Так, имхо, проще:
воспользуемся неравенством Гёльдера:
$\prod(a^5-a^2+3)\geq\prod(a^3+2)\geq(a+b+c)^3.$

Добавлено спустя 8 минут 31 секунду:

Моё неравенство. Подарок всем к летним каникулам.
Докажите что для всех неотрицательных чисел $a,$ $b$ и $c,$ сумма которых равна $3$ выполняется следующее неравенство:
$\frac{a}{b^2+5}+\frac{b}{c^2+5}+\frac{c}{a^2+5}\geq\frac{1}{2}.$

[Батороев]

arqady писал(а):

Докажите что для всех неотрицательных чисел $a,$ $b$ и $c,$ сумма которых равна $3$ выполняется следующее неравенство:
$\frac{a}{b^2+5}+\frac{b}{c^2+5}+\frac{c}{a^2+5}\geq\frac{1}{2}.$

Жалко, что не научился заводить картинки
Строим график $ y = x^2 $
На оси ординат отмечаем с учетом условия $ a + b + c = 3 $ точки
$ (0, 1), (0, a^2), (0, b^2), (0, c^2) $
Соединяем указанные точки cоответственно с точками $ (1, -5), (c, -5), (a, -5), (b, -5)$
Линия $ (0, 1) - (1, -5)] $ - контрольная, тангенс ее наклона равен
$ \frac{1}{6} $ (знак "-" условно не учитываем).
Тангенгс угла наклона линии - $ [(0, a^2)-(c, -5)] $ - это $ \frac{c}{a^2 + 5} $
Тангенгс угла наклона линии - $ [(0, b^2)-(a, -5)] $ - это $ \frac{a}{b^2 + 5} $
Тангенгс угла наклона линии - $ [(0, c^2)-(b, -5)] $ - это $ \frac{b}{c^2 + 5} $

Чтобы выполнялось исходное неравенство, т.е. сумма тангенсов угла наклона последних трех линий была бы больше суммы трех тангенсов контрольной линии необходимо, чтобы выполнялось неравенство:
$ (a^2 + b^2 + c^2)\geq (a + b + c) $
Наверняка, такая теорема существует:?:

[arqady]

Батороев писал(а):

Линия $ (0, 1) - (1, -5)] $ - контрольная, тангенс ее наклона равен
$ \frac{1}{6} $ (знак "-" условно не учитываем).

Тангенс её наклона куда? И почему не \sqrt2, например?

[Батороев]

По-видимому, я допустил две ошибки:
1. Тангенсы перепутал с котангенсами.
2. Зря пренебрег знаком "-".

Начну сначала:

Строим график $ y = x^2 $
На оси ординат отмечаем с учетом условия $ a + b + c = 3 $ точки
$ (0, 1), (0, a^2), (0, b^2), (0, c^2) $ (имеются в виду точки с координатами x, y).
Соединяем указанные точки cоответственно с точками $ (1, -5), (c, -5), (a, -5), (b, -5)$
Линия $ [(0, 1) - (1, -5)] $ (имеется в виду линия от точки до точки) - контрольная, котангенс ее наклона к оси абцисс равен $ (-\frac{1}{6}) $.

Котангенгс угла наклона линии $ [(0, a^2)-(c, -5]) $ к оси абцисс - равен $ (-\frac{c}{a^2 + 5}) $
Котангенгс угла наклона линии $ [(0, b^2)-(a, -5)] $ к оси абцисс - равен $ (-\frac{a}{b^2 + 5}) $
Котангенгс угла наклона линии $ [(0, c^2)-(b, -5)] $ к оси абцисс - равен $ (-\frac{b}{c^2 + 5}) $

Чтобы выполнялось исходное неравенство, т.е. сумма котангенсов угла наклона последних трех линий была бы меньше или равна сумме трех котангенсов контрольной линии
$ 3(-\frac{1}{6})\geq(-\frac{a}{b^2+5})+(-\frac{b}{c^2+5})+(-\frac{c}{a^2+5})$

необходимо, чтобы выполнялось неравенство:
$ (a^2 + b^2 + c^2)\geq (a + b + c) $

[arqady]

Батороев писал(а):

Чтобы выполнялось исходное неравенство, т.е. сумма котангенсов угла наклона последних трех линий была бы меньше или равна сумме трех котангенсов контрольной линии
$ 3(-\frac{1}{6})\geq(-\frac{a}{b^2+5})+(-\frac{b}{c^2+5})+(-\frac{c}{a^2+5})$

необходимо, чтобы выполнялось неравенство:
$ (a^2 + b^2 + c^2)\geq (a + b + c) $

Если я вас правильно понял, вы имеете в виду, что

$ (a^2 + b^2 + c^2)\geq (a + b + c)\Rightarrow\frac{a}{b^2+5}+\frac{b}{c^2+5}+\frac{c}{a^2+5}\geq\frac{1}{2}.$
Это утверждение станет верным сразу же после того, как будет доказано исходное неравенство.
Но почему верно исходное неравенство?

[Батороев]

arqady писал(а):

Если я вас правильно понял, вы имеете в виду, что

$ (a^2 + b^2 + c^2)\geq (a + b + c)\Rightarrow\frac{a}{b^2+5}+\frac{b}{c^2+5}+\frac{c}{a^2+5}\geq\frac{1}{2}.$
Это утверждение станет верным сразу же после того, как будет доказано исходное неравенство.
Но почему верно исходное неравенство?

Неравенство:
$ (a^2 + b^2 + c^2)\geq (a + b + c) $ (1)
легко доказывется:
При $ a>1, b>1, c<1 $
$ (a^2 + b^2 + c^2)-(a + b + c) = (a^2 - a) + (b^2 - b) - (c - c^2) = a(a - 1) + b(b - 1) - c(1 - c) = a(a - 1) + b(b - 1) - c(a - 1 + b -1) = (a - 1)(a - c) + (b - 1)(b - c) >{0}$

При $ a>1, b<1, c<1 $
$ (a^2 + b^2 + c^2) -(a + b + c) = (a^2 - a) - (b - b^2) - (c - c^2) = a(a - 1) - b(1 - b) - c(1 - c) = a(1 - b + 1 - c) - b(1 - b) - c(1 - c) = (1 - b)(a - b) + (1 - c)(a - c) >{0}$

При $ a = b = c =1 $
$ (a^2 + b^2 + c^2) = (a + b + c) $

Причем, неравенство справедливо для любых $ (a + b + c)\geq{3} $,
(при больших 3, вместо знака "=" чуть раньше, чем у меня, появляется знак ">")

Чтобы проверить выполнение исходного равенства, необходимо угол наклона каждой из трех линий сравнить с углом наклона контрольной линии. Разность этих углов определяется разностью расстояний оснований этих линий (точек от которых проводятся линии) до оснований контрольной линии (как по оси ординат, так и по линии y = (-5)).
Суммируя эти разности, мы и получим неравенство (1), от выполнения которого будет зависеть выполнение исходного.

[arqady]

Батороев писал(а):

Суммируя эти разности, мы и получим неравенство (1),..

Покажите подробно, как это получается.

Батороев писал(а):

... от выполнения которого будет зависеть выполнение исходного.

Каким образом? Это желательно объяснить.

[Батороев]

arqady писал(а):

Батороев писал(а):

Суммируя эти разности, мы и получим неравенство (1),..

Покажите подробно, как это получается.

Батороев писал(а):

... от выполнения которого будет зависеть выполнение исходного.

Каким образом? Это желательно объяснить.

Если из нижних оснований (концов) рассматриваемых линий провести новые линии, параллельные контрольной, то расстояния между их (рассматриваемой и новой) верхними концами будут равны:
$ (a^2+5) - 6c $ (6 - тангенс угла наклона контрольной линии).
$ (b^2+5) - 6a $
$ (c^2+5) - 6b $

Суммируя выражения и определяя знак этой суммы, мы тем самым определяем больше или меньше сумма углов рассматриваемых линий по отношению к тройному углу наклона контрольной линии.
$ (a^2+5-6c) + (b^2+5-6a) + (c^2+5-6b) = (a^2+b^2+c^2) - (a+b+c)\geq{0}$

Следовательно, сумма углов наклона к оси абцисс рассматриваемых линий не больше суммы трех углов наклона контрольной линии (1) (с учетом знаков углов).

Если из верхнего основания (конца) контрольной линий провести новые линии, параллельные рассматриваемым, то расстояния между их (контрольной и каждой новой) нижними концами будут равны:
$ 1 - \frac{6a}{b^2+5} $ (6 - длина катета (1, -5)); $ \frac{a}{b^2+5} $ - котангенс угла наклона линии)
$ 1 - \frac{6b}{c^2+5} $
$ 1 - \frac{6c}{a^2+5} $
Суммируя выражения, получаем:
$ (1-\frac{6a}{b^2+5}) + (1 -\frac{6b}{c^2+5}) + (1 - \frac{6c}{a^2+5}) $

Сучетом вывода (1) эта сумма должна быть не больше 0, т.е. после преобразований получаем:
$ \frac{a}{b^2+5} + \frac{b}{c^2+5} + \frac{c}{a^2+5}\geq{\frac{1}{2} $