Может ли многообразие быть несвязанным?

[Munin]

schekn в сообщении #655417 писал(а):

Возьмем плоскость в декартовых кординатах (x,y). сделаем недопустимые в ОТО и топологии преобразования координат:
$ \bar{x}=x+\frac1 x$
$ \bar{y}=y$

Плоскость в новых координатах оказывается разрезанной на 2 несвязанных куска, разделенных прямой x=0. Это получилось так, потому что мы использовали недопустимые преобразования.

Недопустимость этих преобразований не только в разорванности, но и в отсутствии взаимной однозначности. Два значения $x,$ например, $\tfrac{1}{2}$ и 2, соответствуют одному значению $\bar{x}.$ Но допустим, я поправлю ваш пример до таких, более выражающих вашу мысль, как мне кажется:
$\bar{x}=\frac{1}{x}+\operatorname{sgn}x$
или даже
$\bar{x}=x++\operatorname{sgn}x$

Тогда да, появляется "надуманный" разрыв, хотя преобразования - почему недопустимые? Они уже вполне допустимые...

schekn в сообщении #655417 писал(а):

Не получается ли подобное с Черной дырой?
Мы нашли решение в виде например , метрики Леметра , затем использовали недопустимые координатные преобразования, обратные (102.1) (по ЛЛ-2) имеющие логарифмическую сингулярность в $r=r_g$.

Тут дело в том, что исторически сюжет развивался в обратную сторону. Шварцшильд нашёл решение с разрывом, а исходного варианта до разрыва никто не видел. И вот потом появились варианты восстановления этого разрыва до исходного вида: Леметра (и аналогичный - Эддингтона-Финкельштейна), Крускала-Секереша, некоторые другие.

И если сделать разрыв можно по заданной линии с однозначными результатами, то наоборот, восстановить исходный вариант мы не можем однозначно. Откуда мы знаем, как именно куски были раньше склеены? Мы можем только прикладывать их друг к другу так и сяк, и смотреть, подходит или нет. Может не получиться вообще, может получиться больше одного варианта. Именно последнее и имеет место с чёрной дырой:
- решение Шварцшильда состоит из двух кусков: $r>r_g$ и $r<r_g;$
- склеивание их одним способом даёт чёрную дыру. Склеивание их другим способом даёт белую дыру. Склеивание их третьим способом (причём взяв по два экземпляра каждого куска) даёт полное пространство-время Крускала-Секереша. Склеивание их четвёртым способом (взяв два экземпляра "внешнего" куска, и отказавшись вообще от "внутреннего") даёт комбинацию чёрной дыры и белой дыры в разных вселенных. И так далее: с ножницами и клеем можно ещё много наворотить, см. напр. Новиков, Фролов "Физика чёрных дыр".

[schekn]

Munin в сообщении #655647 писал(а):

Но допустим, я поправлю ваш пример до таких, более выражающих вашу мысль, как мне кажется:
$\bar{x}=\frac{1}{x}+\operatorname{sgn}x$
или даже..

Мне следовало привести другой пример: использовать сингулярные преобразования, которые отображают сферу на 2 параллельные плоскости, при этом считать, что точки на бесконечности у них не сшиваются. Там нет неоднозначности, но идея в общем понятна.

Меня просто стала раздражать фраза у уважаемых Ландау-Лифица перед формулой (102.1):
"Для выяснения истинного характера пространственно-временной метрики в этой области произведем преобразование вида .." (имеется в виду $r<r_g$ ) и приведенеы недопустимые преобразования (102.1).
В этом смысле в статье Оппенгеймера-Снайдера " О безграничном гравитационном сжатии" как-то более аккуратно это изложено, хотя все равно вопросы остаются.

-- 10.12.2012, 14:09 --

Цитата:

[quote="SergeyGubanov в [url=http://dxdy.ru/post655019.html#p655019]сообщении
Эта метрика получена Пэнлеве в 1921 году преобразованием координат из метрики Шварцшильда.

Эта фраза у Вас меня тоже раздражает. Я думаю все-таки Пенлеве получил свою метрику по другому: либо просто до нее догадался, либо честно решил уравнения Гильберта-Эйнштейна для сферически-симметричного случая.

[Someone]

schekn в сообщении #656612 писал(а):

Меня просто стала раздражать фраза у уважаемых Ландау-Лифица перед формулой (102.1):
"Для выяснения истинного характера пространственно-временной метрики в этой области произведем преобразование вида .." (имеется в виду $r<r_g$ ) и приведенеы недопустимые преобразования (102.1).

А чем они "недопустимые"? При $r=r_g$ выражение (100,14) для метрики Шварцшильда не определено. А в областях $0<r<r_g$ и $r>r_g$ преобразования (102,1) хорошо себя ведут, так что вполне допустимы. Ну, а после их применения оказывается, что в новых координатах выражение (102,3) не имеет никаких особенностей на поверхности $r=r_g$, так что оно корректно сшивает внутреннюю и внешнюю области. Можно подставить эту метрику в уравнения Эйнштейна и убедиться, что она является решением.

[Munin]

schekn в сообщении #656612 писал(а):

Мне следовало привести другой пример: использовать сингулярные преобразования, которые отображают сферу на 2 параллельные плоскости, при этом считать, что точки на бесконечности у них не сшиваются. Там нет неоднозначности, но идея в общем понятна.

Ну так поймите, что преобразования от координат Шварцшильда к координатам Леметра или Эддингтона-Финкельштейна - аналогичны обратным преобразованиям, от двух плоскостей к сфере.

schekn в сообщении #656612 писал(а):

Меня просто стала раздражать фраза у уважаемых Ландау-Лифица перед формулой (102.1):
"Для выяснения истинного характера пространственно-временной метрики в этой области произведем преобразование вида .." (имеется в виду $r<r_g$ ) и приведенеы недопустимые преобразования (102.1).
В этом смысле в статье Оппенгеймера-Снайдера " О безграничном гравитационном сжатии" как-то более аккуратно это изложено, хотя все равно вопросы остаются.

Да, к сожалению, на придирчивый взгляд многие формулировки Ландау небезупречны, особенно в "гравитационной" части 2 тома.
Почитайте Пенроуза "Структура пространства-времени", там про координаты Эддингтона-Финкельштейна (они как координаты Леметра, только более наглядны) рассказано довольно хорошо, насколько я помню.

[schekn]

Someone в сообщении #656682 писал(а):

А чем они "недопустимые"? При выражение (100,14) для метрики Шварцшильда не определено.

Вот это странный момент. Преобразования сингулярны только на гиперповерхности $r=r_g $. Но когда Эйнштейн говорил о допустимых преобразованиях координат , он говорил о непрерывности этих преобразований везде на многообразии или о какой-то области многообразия? Вы говорите , что из сферы нельзя непрерывной деформацией создать тор. А если использовать "разрывные" преобразования? Думаю, можно. Поэтому они и запрещены. Я привел пример, как из связной сферы можно сделать две несвязые параллельные плоскости. Фактически это означает, что сигнал с одной плоскости никогда не попадет на вторую. Пример с ЧД несколько иной - там из метрики Леметра, которая определена во всей области r , получается метрика Шварцшильда только в области $r>r_g$. Сигнал из области под горизонтом не попадет в область над горизонтом , хотя обратно видимо может, но это никто не проверял. Поэтому и возникло ощущение, что область $r>r_g$ часть несвязного многообразия, если мы рассматриваем координаты Шварцшильда.

-- 10.12.2012, 22:20 --

Munin в сообщении #656763 писал(а):

Ну так поймите, что преобразования от координат Шварцшильда к координатам Леметра или Эддингтона-Финкельштейна - аналогичны обратным преобразованиям, от двух плоскостей к сфере.

Ну так мне нужно для этого знать вторую часть, дополняющую координаты Шварцшильда. А я её пока не знаю. Иначе я получу координаты Леметра также в области строго $r>r_g$

[Someone]

schekn в сообщении #656767 писал(а):

Вот это странный момент. Преобразования сингулярны только на гиперповерхности $r=r_g $. Но когда Эйнштейн говорил о допустимых преобразованиях координат , он говорил о непрерывности этих преобразований везде на многообразии или о какой-то области многообразия?

Что говорил по этому поводу сам Эйнштейн - понятия не имею. Однако метрика (100,14) не определена на поверхности $r=r_g$, поэтому она вовсе не описывает всё многообразие. И, соответственно, преобразования (102,1) определены только там, где определена метрика: в областях $0<r<r_g$ и $r>r_g$.
Однако выражение (102,3) для метрики, которое получается после преобразований, определено в обеих областях (поскольку преобразования в этих областях являются не только непрерывными, но и достаточно гладкими) и, кроме того, на поверхности $r_g$. И во всей области $r>0$ является решением уравнений Эйнштейна. Что Вы ещё от этих преобразований хотите?

schekn в сообщении #656767 писал(а):

Я привел пример, как из связной сферы можно сделать две несвязые параллельные плоскости.

ПРеобразования (102,1) делают прямо противоположное: две области $0<r<r_g$ и $r>r_g$ они изометрически вкладывают в одну область $r>0$, "склеивая" их по поверхности $r=r_g$.

schekn в сообщении #656767 писал(а):

Ну так мне нужно для этого знать вторую часть, дополняющую координаты Шварцшильда. А я её пока не знаю. Иначе я получу координаты Леметра также в области строго $r>r_g$

Там и есть две части: $0<r<r_g$ и $r>r_g$.

[Munin]

schekn в сообщении #656767 писал(а):

Вот это странный момент. Преобразования сингулярны только на гиперповерхности $r=r_g $. Но когда Эйнштейн говорил о допустимых преобразованиях координат , он говорил о непрерывности этих преобразований везде на многообразии или о какой-то области многообразия?

Речь идёт о преобразованиях, непрерывных в какой-то малой области - окрестности точки. Ключевой момент здесь в том, чтобы множества, на которых эти преобразования не непрерывны, - не образовывали областей размерности 4. Они могут образовывать подмножества размерности 3, 2, 1, 0 - пожалуйста. Тогда получается кусочная непрерывность, или непрерывность почти всюду.

-- 11.12.2012 00:00:20 --

schekn в сообщении #656767 писал(а):

Фактически это означает, что сигнал с одной плоскости никогда не попадет на вторую.

Нет. Ошибаетесь. Попадёт или не попадёт - это не зависит от координатных карт. Это зависит от самого многообразия (сферы в вашем случае). Сигнал за конечное время достигнет экватора, то есть по карте - бесконечно удалённой точки на плоскости - и после этого перейдёт на другую карту, то есть на другую плоскость. Вот куда именно - это зависит от условий сшивки карт, и в самих координатных картах такой информации нет. То есть, необходимо, кроме двух плоскостей, задать условия перехода с одной на другую, и поэтому две плоскости несут меньше информации, чем одна сфера.

-- 11.12.2012 00:13:22 --

schekn в сообщении #656767 писал(а):

Ну так мне нужно для этого знать вторую часть, дополняющую координаты Шварцшильда. А я её пока не знаю.

Верно. Но считается, что эта вторая часть - такие же координаты Шварцшильда, но в области $r<r_g.$ Хотя, как я уже говорил, допустимы (и найдены) другие варианты.